アイデア数理塾 京の算数学問題#1591
△ABCの辺AB、ACの中点を、それぞれM、Nとします。
BC＝14cmのとき、(1)MNの長さ、(2)MNとBCの位置関係を答えなさい。
解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
中点連結定理は、三角形の2辺の中点を結ぶ線分が、残りの1辺と平行になり、その長さが半分になる定理です。
△ABCでM、NがそれぞれAB、ACの中点なら、MN∥BC、MN＝BC/2となります。
平行と長さの2つをセットで確認しましょう。
「半分にすればよい」と覚えていても、どの辺を半分にするか、いつ定理を使えるかで迷うことがあります。
定期テスト対策では、図へ中点の印を書き込み、使う三角形を囲むところから練習すると、根拠と計算を結び付けやすくなります。
中点とは、その辺を同じ長さに2等分する点
MがABの中点ならAM＝MBです。
NがACの中点ならAN＝NCです。
2組の等しさは別の条件なので、AM＝ANまで言えるわけではありません。
図ではABの2つの部分に1本線、ACの2つの部分に2本線の印を付けて区別しています。
「真ん中に見える」だけでは中点とは判断できません。
問題文に中点と書かれているか、等しい長さを示す印や数値があるかを確かめてください。
中点が2つ確認できたら、それらを結んだ線分と残りの辺に注目します。
中点連結定理の2つの結論｜平行・長さが半分
この図では中点が載っている辺はABとACです。
したがって「残りの辺」はBC。
MN∥BC、MN＝BC×1/2と書きます。
ABやACの長さを半分にしてMNを求めるのではありません。
同じ図でも、どの辺の中点を結ぶかで対応する辺が変わります。
たとえばABとBCの中点を結ぶなら、その線分はACに平行で、長さはACの半分です。
図の上下だけで決めず、使っていない残りの辺を見つけましょう。
基本例題｜BC＝14cmなら、MN＝7cm
今回の問題ではM、NがAB、ACの中点なので、中点連結定理を使えます。
MN＝BC/2＝14÷2＝7cmです。
また位置関係は平行で、記号ならMN∥BCと表します。
答案には「M、NはそれぞれAB、ACの中点だから、中点連結定理より」と根拠を書き、その後に式を続けると筋道が伝わります。
長さの問題でも、平行の関係を図に書いておくと、続く角度や相似の問題で使いやすくなります。
逆算｜中点を結ぶ線分から、元の辺を求める
同じ条件でMN＝4.5cmと分かっているなら、BC＝2×MN＝9cmです。
MN＝BC/2を、BC＝2MNと読み替えます。
いつでも2で割るのではなく、どちらの長さが与えられているかを確認してください。
計算前に「短い方MN→長い方BC」と矢印を書くと、逆算の向きを確かめられます。
BCを求めるのに4.5÷2＝2.25cmとしてしまうと、元の辺が中点を結ぶ線分より短くなり、関係と合いません。
なぜ半分？相似比1：2から考える
中点なのでAM：AB＝AN：AC＝1：2で、∠Aは共通です。
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいことから、△AMN∽△ABCとなります。
対応する辺の比からMN：BC＝1：2なので、MN＝BC/2です。
さらに対応する角が等しいため、同位角の関係からMN∥BCもいえます。
相似比が1：2なので、△AMNと△ABCの面積比は1：4です。
長さの比1：2をそのまま面積比にしないように注意しましょう。
中点が1つだけのとき｜追加条件を見落とさない
MがABの中点という条件だけでは、AC上のNの位置が決まらず、MN＝BC/2とはいえません。
一方、MがABの中点で、Mを通ってBCに平行な直線とACの交点がNなら、平行線と線分の比からAN＝NCとなり、同じ結論が得られます。
「中点が1つだから絶対に使えない」と暗記するより、もう一方の中点を示せる条件があるかを確かめましょう。
答案では、与えられている中点と、自分で導いた中点を区別して書くことが大切です。
台形の応用｜上底と下底の和を2で割る理由
台形ABCDでAD∥BC、AD＝6cm、BC＝14cmとします。
平行でない2辺AB、DCの中点をM、Nとすると、MN＝(AD＋BC)/2＝10cmです。
半分にする対象は脚の長さではなく、上底と下底の和です。
対角線ACを引き、MからBCに平行な直線を引いてACとの交点をOとします。
△ABCではMがABの中点なので、OはACの中点、MO＝BC/2＝7cmです。
次に△CDAを見ると、OはCAの中点、NはCDの中点なので、ON∥AD、ON＝AD/2＝3cmです。
AD∥BCなのでM、O、Nは一直線上に並びます。
したがってMN＝MO＋ON＝7＋3＝10cm。
1つの台形に隠れた2つの三角形で、同じ定理を使っています。
台形の中点を結ぶ線分が11cm、上底が8cmなら、(8＋BC)/2＝11と式を作り、BC＝22−8＝14cmです。
公式を逆向きに使うときも、先に関係式を書いてから計算すると整理できます。
定期テストで防ぎたい取り違え
どの辺を半分にするか：使う三角形と2つの中点を囲み、残りの辺へ矢印を付けます。台形なら必要に応じて対角線を引き、三角形に分けて考えます。
条件と結論の混同：中点は問題文で与えられたのか、平行から導いたのかを確認します。見た目から中点と決め付けず、根拠を1行書きましょう。
長さと面積の比：中点を結ぶ小さい三角形の辺は全体の1/2ですが、面積は全体の1/4です。「何を比べているか」を問いの言葉で確認してください。
教室や家庭での見直しでは、答えが合っていても「なぜBCを半分にしたの？」と説明してもらうと理解を確かめられます。
説明が止まったら、公式を繰り返す前に、中点の印・使う三角形・対応する辺を図へ書き戻してみましょう。
一問一答PDF｜条件・長さ・逆算・台形を8問で復習
平行の関係、半分の計算、元の辺への逆算、条件の判断、相似比と面積比、台形への応用を8問にまとめました。
1ページ目が問題、2ページ目が解答・確認ポイントです。
図が必要な問題は手元に簡単な図を描き、同じ長さの印を付けて解いてください。
中3数学｜中点連結定理 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
中点連結定理は、どんなときに使えますか？
三角形の2辺の中点を結ぶ線分について使います。その線分は残りの辺と平行で、長さが半分です。1つの中点と平行線から、もう一方も中点だと示せる場合もあります。
MNがBCの半分なら、BCはどう求めますか？
BC＝2MNです。たとえばMN＝4.5cmならBC＝9cm。求めるのが元の辺なら、半分にする計算を逆にして2倍します。
台形の中点を結ぶ線分の長さは？
平行でない2辺の中点を結ぶ線分なら、上底と下底の和を2で割った長さです。上底6cm、下底14cmなら10cmで、対角線を引くと中点連結定理で説明できます。
中点を結んだ小さい三角形の面積は、全体の半分ですか？
全体の1/4です。相似比は1：2ですが、面積比はその2乗で1：4となります。長さと面積の違いを確認しましょう。
まとめ｜条件を確認し、平行と半分を一緒に書く
中点連結定理は「三角形の2辺の中点」「残りの辺と平行」「長さが半分」を対応させて使います。
逆算では2倍し、台形では対角線で三角形を2つ作って考えましょう。
答えの数値に加え、根拠と単位まで見直してください。
京の算数学 解答#1591
M、NはそれぞれAB、ACの中点だから、中点連結定理より、(1)MN＝14÷2＝7cm、(2)MN∥BC（平行）です。
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