アイデア数理塾 京の算数学問題#1590
(1)相似な長方形Aは横4cm・縦2cm、Bは横6cm・縦3cmです。Bの面積を求めなさい。
(2)相似な立体A・Bの相似比がA：B＝2：3で、Aの体積が40cm³です。Bの体積を求めなさい。
解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
相似比がa：bなら、面積比はa²：b²、体積比はa³：b³です。
たとえば相似比2：3なら、面積比は4：9、体積比は8：27。
周の長さは長さなので2：3のまま、立体の表面積は面積なので4：9になります。
いずれも、図形や立体が相似であることが前提です。
公式を覚えていても、問題文の「面積」を見落として2：3のまま計算したり、大きい方を求めるのに2/3を掛けたりすると答えが変わります。
定期テスト前は、計算を急ぐ前に「何の比？」「AとBの順序は？」を声に出して確認しましょう。
相似比とは？対応する辺の長さの比
相似な図形は、対応する角がそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比がすべて等しい図形です。
その対応する辺の長さの比が相似比です。
長方形A・Bでは、横の辺が4：6＝2：3、縦の辺も2：3なので、相似比はA：B＝2：3です。
辺を選ぶときは、横どうし・縦どうしのように対応をそろえます。
Aの横4cmとBの縦3cmを比べた4：3は、この対応での相似比ではありません。
図の見た目だけでなく、問題文の対応関係も確認してください。
面積比が2乗になる理由｜縦と横に倍率がかかる
長方形AからBへ、辺の長さをそれぞれ3/2倍にすると、縦も横も3/2倍です。
面積は「縦×横」なので、面積の倍率は(3/2)×(3/2)＝9/4倍になります。
長さの倍率を1回だけ掛けるのではなく、2方向に掛けているのです。
正方形なら、1辺2の面積は4、1辺3の面積は9です。
この図で2：3と4：9の違いを確かめましょう。
三角形でも底辺と高さが同じ倍率になり、面積の公式の1/2は両方に共通なので、面積比は相似比の2乗になります。
体積比は3乗、表面積の比は2乗
直方体を同じ形のまま拡大すると、縦・横・高さの3方向に倍率がかかります。
辺が3/2倍なら、体積は(3/2)³＝27/8倍です。
相似比2：3から、体積比8：27が得られます。
一方、表面積は立体の外側の「面の広さ」を合計したものです。
相似な立体では、それぞれ対応する面の面積が同じ倍率で変わるため、表面積の比も2乗です。
「立体の問題だから全部3乗」としないようにしましょう。
例題①｜相似比から実際の面積を求める
問題(1)で、Aの面積は4×2＝8cm²です。相似比A：B＝2：3より、面積比A：B＝4：9。
したがってBの面積＝8×9/4＝18cm²です。
「AからBへ」と矢印を書いて、4から9への倍率9/4を掛けます。
Bは大きい図形なので、面積がAより大きくなっていることも確認します。
この問題ではBの縦と横も分かるので、6×3＝18cm²と直接計算して検算できます。
例題②｜体積は相似比を3乗してから使う
問題(2)は体積を求めるため、相似比2：3を体積比8：27に直します。
Aの40cm³が比の8に対応するので、Bの体積＝40×27/8＝135cm³です。
40×3/2＝60とする誤答は、長さの倍率を体積に使ったものです。
また、40×9/4＝90では面積比を使っています。
計算の前に「体積比 A：B＝8：27」と1行書けば、公式の選び間違いを見つけやすくなります。
逆算｜面積比・体積比から相似比に戻す
相似な図形の面積比が9：16なら、9＝3²、16＝4²なので、相似比は3：4です。
長さは正なので、−3：4のような答えにはしません。
面積比が18：32のときも、まず9：16に簡単にすると見通しがよくなります。
相似な立体の体積比が27：64なら、27＝3³、64＝4³なので、相似比は3：4です。
面積比からは2乗を、体積比からは3乗を戻します。
27と64を単純に3で割る方法ではありません。
小さい方を求めるときは、倍率の向きに注意
相似な図形A：Bの面積比が4：9で、Bの面積が45cm²なら、Aの面積は45×4/9＝20cm²です。
今度はBからAへ戻るので、掛けるのは9/4ではなく4/9です。
学習指導で確認したいのは、公式を言えるかだけでなく、既知の量が比のどちらに対応するかを説明できるかです。
ノートには「A：B＝4：9」「面積はAが？、Bが45」と上下にそろえて書いてみましょう。
答えを見直すときは、大きい図形なのに面積が小さくなっていないかも確認します。
定期テスト前の確認｜相似の条件と単位
この公式は、相似な図形・立体に使います。
1辺だけが2：3の長方形でも、もう一方の辺の比が違えば相似とは限らず、面積比を4：9と決めることはできません。
立体も1方向だけ伸ばした場合は相似ではありません。
比そのものは同じ種類の量どうしを比べた数なので、4：9にcm²などは付けません。
実際の長さにはcm、面積・表面積にはcm²、体積にはcm³を付けます。
「体積を求めなさい」に8：27だけで答えず、与えられた体積から実際の値まで求めてください。
一問一答PDF｜基本と逆算を8問で復習
公式の使い分け、表面積、相似比への逆算、実際の面積・体積、小さい方への計算を8問にまとめました。
1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
解く前に各問へ「長さ」「面積」「体積」のいずれかを書き添えると、つまずいた箇所を振り返りやすくなります。
中3数学｜相似比・面積比・体積比 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
相似比2：3のとき、面積比と体積比はいくつですか？
面積比は2²：3²＝4：9、体積比は2³：3³＝8：27です。相似であることと、比の対応順が同じことを確認します。
表面積の比は2乗ですか、3乗ですか？
2乗です。相似な立体でも、表面積は面積なので相似比の2乗、体積は3乗です。
面積比9：16から相似比を求めるには？
相似な図形なら、9＝3²、16＝4²から相似比は3：4です。比を簡単にしてから考えると分かりやすくなります。
1組の辺の長さの比だけで面積比を決められますか？
相似であることが分からなければ決められません。問題文で相似が与えられているか、相似の条件が成り立つかを確認します。
まとめ｜何の比かを決めて、対応する順序で計算する
相似比は長さの比、面積比はその2乗、体積比は3乗です。
求めたい量を確認し、A：Bの順序をそろえて倍率を掛けます。
逆算は2乗・3乗を戻し、最後に大きさの向きと単位を確かめましょう。
京の算数学 解答#1590
(1)相似比2：3より面積比は4：9。Aは8cm²なので、Bは8×9/4＝18cm²です。
(2)体積比は8：27なので、Bは40×27/8＝135cm³です。
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