アイデア数理塾 京の算数学問題#1589
架空の通話プランAは基本料金300円に1分あたり20円、Bは基本料金600円に1分あたり10円が加わります。
(1)同額になる時間と料金
(2)40分ではどちらが何円安いかを求めなさい。
時間は0以上の整数とし、0分でも基本料金がかかります。
追加料金・割引はなく、この条件だけで料金が決まるものとします。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
一次関数の料金比較は、各プランの式を作り、同額になる時間を求め、その前後で料金を比べます。
「基本料金＋1分あたりの料金×時間」をy＝ax＋bに表すと、aが1分あたりの増加額、bが基本料金です。
グラフでは、同じxに対して下にある方が安くなります。
「基本料金が安いからA」「1分あたりが安いからB」と一部分だけで決めると、利用時間によって答えが変わることを見落としてしまいます。
今回は実在の会社の料金ではなく、計算練習用の架空の条件を使い、表・式・グラフをつなげて考えてみましょう。
手順①｜基本料金と利用分を分けて式にする
時間をx分、料金をy円とします。Aは1分あたり20円なので利用分は20x円、そこに基本料金300円を足します。
したがってA：y＝20x＋300です。Bも同様にy＝10x＋600と表せます。
式を作るときは、数字だけでなく単位も確認しましょう。
「円/分×分」で利用分の円になり、基本料金の円と足せます。
20＋300xのように、基本料金に時間を掛けていないかを見直してください。
傾きと切片は、料金のどの部分を表す？
y＝ax＋bの傾きaは、xが1増えたときのyの増加量です。
Aの20は、1分増えると20円増えることを表します。
切片bはx＝0のときの料金で、この問題では基本料金に当たります。
Aは出発点の料金が低い一方、増え方は大きいプランです。
Bは出発点の料金が高い一方、増え方は小さくなります。
どちらが安いかを決めるには、両方を同じ時間で比べる必要があります。
手順②｜同額になる時間は、2つの料金を等しくする
同じ時間xで料金が等しくなる条件は、20x＋300＝10x＋600です。
これは2直線の交点を求める計算と同じです。
20x＋300＝10x＋600
10x＝300
x＝30
同額になる時間は30分です。
Aに代入すると20×30＋300＝900円。
Bでも10×30＋600＝900円なので、30分のとき、どちらも900円と分かります。
問いが「時間と料金」なら、時間だけで終わらず料金まで求めましょう。
グラフの横軸は時間、縦軸は料金です。
横の30と縦の900を入れ替えないようにしましょう。
この問題は整数の時間で比較します。
図の線は関係を見やすくする補助線で、実際の比較対象は整数のxに対応する値です。
手順③｜交点の前後で、どちらが安いか確認する
同額になる30分より短い例として、10分を代入します。
Aは20×10＋300＝500円、Bは10×10＋600＝700円。
10分ではAが200円安いと分かります。
長い例として40分を代入すると、Aは1,100円、Bは1,000円。
40分ではBが100円安いです。
2つの一次関数のグラフが1点で交わるこの例では、交点の前後で上下関係が入れ替わります。
この問題の範囲では、0分以上30分未満ならAが安く、30分なら同額、30分を超えるならBが安くなります。
時間を整数に限っているので、Bが安いのは31分以上です。
「30分以上」とすると、同額の30分を含めてしまいます。
式の差でも、安い方を確かめられる
Aの料金からBの料金を引くと、(20x＋300)−(10x＋600)＝10x−300です。たとえばx＝40なら100円で、Aの方が100円高いことを表します。x＝10なら−200円で、Aの方が200円安いという意味です。
差が0になるのはx＝30です。差の符号で比較する方法は確認に使えますが、まだ不等式に慣れていなければ、まず交点の前後で具体的な時間を表に入れて確かめましょう。
定期テストで防ぎたい4つの取り違え
基本料金に時間を掛ける：基本料金は、この条件では利用時間によらない金額です。1分あたりの金額にxを掛けます。
違う時間を比べる：Aの10分とBの40分では、プランの比較になりません。表では同じ行、グラフでは同じ横の位置で比較します。
交点の料金を答え忘れる：xが出たら元の式に戻してyを求めます。もう一方の式にも代入し、一致すれば検算になります。
「安い」に同額を含める：同額になる境目を分けて書きましょう。「以上」「より長い」「何分から」といった問いの言葉や、整数の条件も確認します。
一問一答PDF｜式・交点・料金比較を8問で復習
式の作り方、傾きと切片、同額になる時間と料金、安い方と差額、整数の条件を8問にまとめました。
1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
間違えたら、料金表・式・グラフのどこで読み替えを取り違えたかを確認しましょう。
中2数学｜一次関数の料金比較 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
料金プランを一次関数の式にするには？
時間をx分、料金をy円とすると、1分あたりの料金をa、基本料金をbとしてy＝ax＋bと表します。割引や上限などがあれば、その条件も別に確認します。
同額になる時間はどう求めますか？
2つの料金の式を等しくしてxを求めます。そのxを元の式へ代入すると、同額になる料金yも分かります。
グラフでは上と下のどちらが安いですか？
横軸が時間、縦軸が料金なら、同じ時間で下にある方が安いです。比較する2点のxをそろえましょう。
実際の料金にも、そのまま使えますか？
この例は基本料金と利用分だけで決まる架空の条件です。実際は無料時間、段階料金、上限、税や割引などで式が変わる場合があるため、問題文や実際の条件を確認する必要があります。
まとめ｜式を作り、同額の境目と前後を分ける
基本料金は切片、1分あたりの料金は傾きに対応します。
同じ時間の料金を等しくして境目を求め、前後でどちらが安いかを表やグラフで確認します。
問いに合わせて料金・差額・整数条件まで答えましょう。
京の算数学 解答#1589
(1)20x＋300＝10x＋600よりx＝30。
代入するとy＝900なので、30分で900円です。
(2)40分ではAが1,100円、Bが1,000円なので、Bが100円安いです。
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