アイデア数理塾 京の算数学問題#1585
2直線①y＝x＋3②y＝−x＋7とx軸で囲まれる三角形PABの面積を求めなさい。
A、Bはそれぞれ①、②とx軸との交点、Pは①と②の交点です。
目盛り1あたりの長さを1とします。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
一次関数のグラフがつくる三角形も、面積は「底辺×高さ÷2」で求めます。
まず必要な交点の座標を求め、次に座標を長さへ直します。
x軸上の辺を底辺にすると、高さは頂点からx軸までの距離です。
頂点のx座標を高さにしないようにしましょう。
前回は、2直線の交点を連立方程式で求める方法をまとめました。
今回は、その座標をもとに面積の計算をどうやるのか？をまとめています。
「交点までは出せたのに面積が合わない」という場合は、公式よりも、どの座標を底辺・高さに使っているかを確認してみましょう。
最初に決めるのは底辺｜軸上の辺を選ぶと分かりやすい
三角形のどの辺を底辺にしても、対応する高さを正しく取れば同じ面積になります。
グラフの問題では、x軸やy軸上の辺、あるいは軸に平行な辺を底辺にすると、座標から長さを求めやすくなります。
今回の底辺はx軸上のABとします。
高さはPからABを含む直線、つまりx軸に垂直に下ろした線分の長さです。
斜めのPAやPBの長さではありません。
図で底辺を指し、その底辺に対して垂直な線を描いてから計算しましょう。
手順①｜x軸との交点A・Bを求める
x軸上ではy＝0です。
①y＝x＋3に代入すると0＝x＋3よりx＝−3、したがってA(−3, 0)です。
②y＝−x＋7に代入すると0＝−x＋7よりx＝7、したがってB(7, 0)です。
ここで出た−3と7は座標であり、そのまま底辺の長さではありません。
Aは原点から左へ3、Bは右へ7の位置なので、AB全体の長さを別に求めます。
手順②｜2直線の交点Pを連立して求める
Pでは2つの式のxとyが一致します。
右辺どうしを等しくするとx＋3＝−x＋7、2x＝4よりx＝2です。
①に代入するとy＝2＋3＝5。
よって、P(2, 5)となります。
この段階で、A・B・Pの座標を図へ書き込みます。
計算欄だけに残すより、底辺と高さの対応が見つけやすくなります。
検算では②にもx＝2を入れ、y＝−2＋7＝5と一致することを確かめましょう。
手順③｜座標を底辺・高さの長さに直す
ABの長さは7−(−3)＝10です。
原点をまたいでいるので、左の3と右の7を足す考え方でも確認できます。
7−3＝4では、Aの負の符号を落としています。
Pのy座標は5なので、x軸までの垂直な距離、つまり高さは5です。
Pのx座標2は横の位置を表しており、今回の底辺ABに対する高さではありません。
よって、三角形PABの面積は10×5÷2＝25です。
今回は目盛り1あたりの長さを1としているので、答えを25と書いています。
問題に「1目盛り1cm」などの指定があれば、面積にはcm²などの単位も付けます。
y軸上の辺を底辺にしたら、高さは横向きになる
次に、A(0,−1)、B(0,5)、P(4,2)を頂点とする三角形を考えます。
ABはy軸上の縦の辺なので、底辺の長さは5−(−1)＝6です。
この底辺に垂直な方向は横向きになります。
Pからy軸までの距離は4なので、高さはPのx座標から分かる4です。
したがって面積は6×4÷2＝12となります。
Pのy座標2を高さにすると、底辺に垂直な距離になりません。
「高さはいつもy座標」と覚えるのではなく、底辺に対して垂直な座標と覚えることが大切です。
x軸上の底辺なら縦、y軸上の底辺なら横、と図で確かめましょう。
負の座標でも、長さや面積は負にならない
底辺がx軸上にあり、頂点がP(2,−3)なら、高さは−3ではなく3です。
Pがx軸より下にあることを負の座標が示しているだけで、x軸までの距離は3だからです。
また、底辺がx軸ではなくy＝2の直線上にあり、頂点のy座標が7なら、高さは7−2＝5です。
頂点のy座標がそのまま高さになるのは、底辺がx軸上にある場合の見方です。
まず底辺がどこにあるか確認しましょう。
定期テストの見直し｜座標・長さ・面積を分ける
座標：交点を求めたら(x, y)の組で図に書きます。x軸との交点はy＝0、2直線の交点は連立、と条件も確認します。
長さ：底辺は両端の座標の差、高さは底辺を含む直線までの垂直な距離です。答えが負になったら、長さに直すところを見直しましょう。
面積：底辺と高さを掛けたあと、2で割ったかを確認します。長さと面積の単位も区別しましょう。
教室や家庭での復習では、「底辺を指して」「それに垂直な高さを描いて」と、計算の前に図で説明してもらうと、どこで取り違えたかを見つけやすくなります。
間違えた式を直すだけでなく、使った長さを図に戻す練習をしてみてください。
一問一答PDF｜底辺と高さを8問で確認
公式、負の座標をまたぐ辺、交点の計算、x軸・y軸を底辺にする場合、高さが負にならないことを8問で確認できます。
1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
各問で底辺と高さに印を付けてから解いてみましょう。
中2数学｜一次関数と三角形の面積 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
一次関数のグラフがつくる三角形の面積はどう求めますか？
必要な交点の座標を求め、底辺の長さと垂直な高さに直して、底辺×高さ÷2で計算します。軸上や軸に平行な辺を底辺にすると考えやすくなります。
底辺の端の座標が負のときはどうしますか？
同じ横線上なら、右端のx座標から左端のx座標を引きます。たとえば−3から7までなら7−(−3)＝10です。
高さにはx座標とy座標のどちらを使いますか？
底辺の位置によります。x軸上の底辺なら頂点からx軸までの縦の距離、y軸上ならy軸までの横の距離を使います。座標の符号も距離に直して判断します。
斜めの辺の長さを求める必要はありますか？
今回のように軸上の辺を底辺に選べる問題では、斜めの辺を求めなくても面積を計算できます。底辺と、それに対応する垂直な高さを見つけましょう。
まとめ｜交点を求め、座標を長さに直してから面積へ
グラフの三角形も、使う公式は底辺×高さ÷2です。
交点の座標を求め、底辺の両端の差と、底辺までの垂直な距離を確認します。
底辺を変えると高さの向きも変わるので、毎回図に描いてから計算しましょう。
京の算数学 解答#1585
x軸との交点はA(−3,0)、B(7,0)。
2直線を連立するとP(2,5)です。
底辺AB＝7−(−3)＝10、高さ＝5なので、面積は25です。
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