アイデア数理塾 京の算数学問題#1586
底面が1辺6cmの正方形で、高さ9cmの四角錐の体積を求めなさい。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
角錐・円錐の体積は「底面積×高さ÷3」で求めます。
底面積をS、高さをhとするとV＝Sh/3です。
四角錐でも三角錐でも円錐でも、先に底面積を求め、底面に垂直な高さを掛け、最後に3で割る流れは同じです。
角柱や円柱の体積と混ざって3で割り忘れたり、図に書かれた斜めの長さを高さに使ったりすると、計算ができていても答えが変わります。
今回は、公式の丸暗記だけでなく、底面・高さをどこから選ぶのかを整理していきます。
「柱」と「錐」の体積の違い｜条件をそろえて比較
角柱・円柱の体積は底面積×高さです。
一方、底面積も高さも等しい角錐・円錐の体積は、その柱の体積の1/3になります。
たとえば底面積36cm²、高さ9cmなら、柱は324cm³、錐は108cm³です。
「とがっているから、どんな柱と比べても1/3」という意味ではありません。
比較するときは、底面積と高さの両方をそろえます。
模型や容器を使って量を比べる活動は関係をつかむ助けになりますが、測定だけで厳密な証明になるわけではありません。
手順①｜底面積を、底面の形に合わせて求める
四角錐の底面が正方形なら1辺×1辺、長方形なら縦×横です。
三角錐の底面が三角形なら底辺×その三角形の高さ÷2、円錐の底面が円ならπr²で求めます。
底面の辺の長さを、そのまま底面積として代入しないようにしましょう。
冒頭の問題は1辺6cmの正方形なので、底面積は6×6＝36cm²です。
「6cm」と「36cm²」は違う量です。
体積の式を作る前に、底面積の計算を1行書くと確認しやすくなります。
手順②｜高さは底面に垂直な長さを選ぶ
立体の高さは、頂点から底面に垂直に下ろした線分の長さです。
見取図では内部の破線で示されることがあります。
図が斜めに描かれていても、紙面上で縦に見えるかどうかではなく、底面に垂直かで判断します。
円錐の母線は、頂点から底面の円周上へ側面に沿って引いた斜めの線分です。
体積に使うのは高さで、母線ではありません。
表面積の計算と使う長さが違うので、問題が体積か表面積かを先に確かめましょう。
手順③｜底面積×高さを計算し、3で割る
底面積36cm²、高さ9cmなら、36×9÷3＝108cm³です。
途中で324と出ても、それは底面積と高さが同じ柱の体積です。
角錐の答えにするには3で割ります。
36×(9÷3)＝36×3＝108と、先に割り切れる数を3で割ってもかまいません。
ただし、元の式に「÷3」が入っていることを確認してから整理しましょう。体積の単位はcm³です。
円錐の例題｜半径3cm、高さ8cm
円錐の底面は円なので、底面積はπ×3²＝9πcm²。
ここへ高さ8cmを掛けて3で割ると、9π×8÷3＝24πcm³です。
円周率をπとする指定なら、3.14に直さずπを残します。
直径が与えられた場合は、最初に2で割って半径に直します。
直径4cm、高さ9cmなら半径2cm。
体積はπ×2²×9÷3＝12πcm³です。
直径4をそのままrに入れないように注意しましょう。
三角錐では「÷2」と「÷3」の役割が違う
底面の三角形の底辺が4cm、その三角形の高さが3cm、立体としての高さが10cmの三角錐を考えます。
まず底面積は4×3÷2＝6cm²。
次に体積は6×10÷3＝20cm³です。
最初の÷2は底面の三角形の面積を求めるため、後の÷3は角錐の体積にするためです。
「もう割ったから÷3はいらない」とはなりません。
また、底面の三角形の高さ3cmと、立体の高さ10cmも別の長さです。
定期テストで防ぎたい3つの間違い
底面積を求めず辺の長さを使う：四角錐で6×9÷3としていないかを確認します。底面が正方形なら6×6を先に計算します。
母線や斜めの辺を高さにする：高さの線を図で指し、底面に垂直かを確かめます。使う数字に印を付けてから式へ入れましょう。
3で割り忘れる：式を書く段階で「底面積×高さ÷3」まで一続きに書きます。答えが、同じ底面積・高さの柱より小さくなっているかも見直しの手掛かりになります。
ご家庭では、答えの数字だけでなく「底面はどの面？」「高さはどの線？」「なぜ3で割った？」と順番に確認してみてください。
間違いを、底面積・高さ・最後の計算のどこで起こしたかに分けると、次の問題で直す点がはっきりします。
一問一答PDF｜角錐・円錐の体積を8問で復習
公式、底面積、四角錐・三角錐・円錐の計算、直径から半径への変換、柱との比較を8問にまとめました。
1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
学校のワークと合わせ、底面積と高さに印を付けて解き直しましょう。
中1数学｜角錐・円錐の体積 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
角錐と円錐の体積の公式は同じですか？
どちらも底面積×高さ÷3です。底面の形が違うので、底面積の求め方を変えます。円錐なら底面積はπr²です。
角錐・円錐の体積は、何の1/3ですか？
底面積と高さが等しい角柱・円柱の体積の1/3です。高さだけ、底面積だけが同じという条件では、そのまま比較できません。
円錐の体積に母線を使いますか？
高さが分かっているなら、母線は使いません。体積では底面に垂直な高さを使います。母線と半径しかない場合、高さを求めるには別の知識が必要です。
三角錐は底面積で2で割ったあと、さらに3で割りますか？
はい。底面積の÷2は三角形の面積の計算、体積の÷3は角錐の公式です。役割が違うので、どちらも必要です。
まとめ｜底面積・垂直な高さ・÷3をセットにする
角錐・円錐の体積は底面積×高さ÷3です。
底面の形から面積を求め、垂直な高さを選び、最後に3で割ります。
母線や直径の取り違え、三角錐の÷2と÷3の混同を防いで、基礎問題を確実に解きましょう。
京の算数学 解答#1586
底面積は6×6＝36cm²です。高さ9cmを掛けて3で割るので、体積は36×9÷3＝108cm³です。
おすすめの算数学ブログ
小学6年生で学ぶ「立体の表面積と体積」｜公式の意味を理解しよう！：面積と体積の違いから復習できます。
中学1年生で学ぶ数学の単元のまとめ：空間図形と中1数学全体の学習内容を確認できます。
