アイデア数理塾 京の算数学問題#1576
直径12cmの球の表面積と体積をそれぞれ求めなさい。
円周率はπとします。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
半径rの球の表面積は4πr²、体積は(4/3)πr³です。
直径が与えられているときは、まず2で割って半径に直します。
表面積は外側の広さ、体積は内部の大きさ。
何を求めるかを決めてから公式を選ぶことが、取り違えを防ぐ第一歩です。
円柱や円錐では展開図の面を足して表面積を求めました。
一方、球の表面は、円柱のように切り開いて1枚の長方形にすることはできません。
球では専用の公式を使います。
今回は公式への代入だけでなく、半径の確認、累乗、単位までをまとめて整理していきます。
半径と直径｜中心から表面までが半径
球の中心から表面上の点までの距離を半径といいます。
中心を通って表面上の2点を結ぶ線分が直径で、その長さは半径の2倍です。
この点は円と同じですが、半径＝直径÷2を忘れずにしましょう。
直径12cmなら半径6cmです。図に「12cm」と書いてあっても、中心から片側までの長さとは限りません。
確認するときも「線は中心から始まっている？ 端から端まで？」と図を指して問いかけると、どの長さを使うのか整理できます。
球の表面積と体積｜公式と単位をセットで確認
表面積S＝4πr²
同じ半径の円の面積πr²の4倍です。
ただし、これは球の表面を円4枚に平らに切り開けるという意味ではありません。
面積の大きさの関係として覚えましょう。
体積V＝(4/3)πr³
「4/3」は3分の4です。
半径を3回掛けたr³に、πと4/3を掛けます。
半径の単位がcmなら、表面積はcm²、体積はcm³になります。
公式の理由を確かめる模型や実験は理解の助けになりますが、近似的な測定だけで厳密な証明になるわけではありません。
まずは中1の基本公式とrの意味を正しく使えることを目標にしましょう。
例題｜半径2cmの球の表面積と体積
表面積は4×π×2²＝4×π×4＝16πcm²です。
2²は2×2なので4。
係数の4まで2乗するのではありません。
体積は(4/3)×π×2³＝(4/3)×π×8＝(32/3)πcm³です。
2³は2×2×2なので8。
答えが分数でも、そのままでかまいません。
円周率をπとする指定なら、3.14に置き換えずπを残します。
直径で出題されたら、半径に直してから計算
直径8cmの球なら半径は8÷2＝4cmです。
表面積は4×π×4²＝64πcm²、体積は(4/3)×π×4³＝(256/3)πcm³となります。
最初の式の上に「r＝4」と小さく書いてから進めましょう。
直径8をそのままrに入れると、半径を本来の2倍として計算することになります。
すると表面積は本来の4倍、体積は8倍にずれます。
小さな読み間違いが大きな誤差になるので、最初の半径確認が大切です。
半径が2倍なら、表面積は4倍・体積は8倍
表面積の公式にはr²、体積の公式にはr³が入っています。
半径を2rにすると、表面積は4π(2r)²＝4×4πr²、体積は(4/3)π(2r)³＝8×(4/3)πr³です。
したがって、表面積は4倍、体積は8倍になります。
長さ・面積・体積は、同じ倍率では増えません。
テストの見直しでは、半径が大きくなったのに答えが小さくなっていないかも確認しましょう。
倍率の関係は、計算結果が大きく外れていないかを判断する手掛かりになります。
定期テストで防ぎたい3つのミス
直径を代入する：問題文の「直径」に線を引き、半径へ直す式を先に書きます。図を見ただけで判断せず、長さが示されている範囲を確かめましょう。
2乗・3乗を2倍・3倍と考える：たとえば6²＝6×6＝36、6³＝6×6×6＝216です。不安なうちは掛け算に直してから計算します。
公式と単位が食い違う：表面積の答えにcm³、体積の答えにcm²を書いていないかを確認します。単位だけ直しても式の間違いは直らないので、使った公式まで戻って点検しましょう。
保護者の方が復習を手伝う場合は、公式をすぐ教える前に「表面積？ 体積？」「今の数字は半径？」の2点を聞いてみてください。どこで迷っているかを分けると、公式の覚え直しと計算練習のどちらが必要かを判断しやすくなります。
一問一答PDF｜公式・代入・倍率を8問で確認
半径への変換、公式、表面積と体積の計算、倍率の確認を8問にまとめました。1ページ目が問題、2ページ目が解答です。まず自分で公式を書き、答え合わせでは半径・累乗・単位のどこを直すか確認しましょう。
中1数学｜球の表面積と体積 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
球の表面積と体積の公式は？
半径をrとすると、表面積は4πr²、体積は(4/3)πr³です。直径ではなく半径を使います。
直径が分かっているときはどうしますか？
直径を2で割って半径に直し、その値を公式に代入します。直径12cmなら半径6cmです。
体積の答えが分数でもよいですか？
はい。円周率をπとする場合、(32/3)πcm³のような分数の答えでかまいません。小数や3.14を使う指定があるときは、その指示に従います。
球の表面積は円の面積の何倍ですか？
球と同じ半径の円の面積の4倍です。球の中心を通る切り口は同じ半径の円ですが、その切り口の面積と球の表面積は別のものです。
まとめ｜半径・公式・累乗・単位の順で確認
球の表面積は4πr²、体積は(4/3)πr³です。
直径が与えられたら2で割り、求める量に合わせて公式を選びます。
最後に2乗・3乗とcm²・cm³を見直す。
この手順を固定して、基本問題を確実に解きましょう。
京の算数学 解答#1576
半径は12÷2＝6cmです。表面積は4×π×6²＝144πcm²。体積は(4/3)×π×6³＝(4/3)×π×216＝288πcm³となります。
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