アイデア数理塾 京の算数学問題#1573
底面の半径が3cm、高さが5cmの円柱の表面積を求めなさい。
円周率はπとします。
解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
円柱の表面積は「底面積×2＋側面積」で求めます。
底面の半径をr、高さをhとすると、底面1枚はπr²、側面は2πrhなので、表面積は2πr²＋2πrhです。
ここでは、中1で扱う、底面に垂直にまっすぐ立った円柱を考えます。
「円柱の公式は覚えたのに、問題によって答えが違ってしまう」。
そんなときは、展開図を丁寧に書いて、どの面を計算したのか確認しましょう。
今回は定期テストの基礎問題に向けて、側面の横の長さの求め方、底面積、半径と直径の区別を順に整理していきます。
円柱の展開図は、円2面と長方形1面
円柱の側面を縦に切り開いて広げると、長方形になります。
上下の底面は、同じ大きさの円が2面です。
したがって、円柱の表面積を求めるには、長方形1面(側面積)と円2面の面積を足します。
側面の長方形の横の長さは、直径ではなく円周
側面の長方形の上の辺は、円柱に戻すと、底面の円の周りにぴったり沿います。
このため横の長さは円周と等しく、2×π×半径＝2πrです。
直径2rは円の直径で、円の周りの長さではありません。
縦の長さは円柱の高さhです。
長方形の面積は横×縦なので、側面積は2πr×h＝2πrhとなります。
たとえば半径2cm、高さ5cmなら、円周は4πcm、側面積は4π×5＝20πcm²です。
缶のラベルを広げるイメージで「ラベルの横は、缶を一周する長さ」と説明すると、円周を使う理由を確認しやすくなります。
公式だけを言えるかよりも、長方形の横と縦を指して説明できるかを確かめたいところです。
表面積を求める3ステップ
①底面1面の面積を求める。円の面積はπ×半径×半径です。半径2cmなら4πcm²になります。
②側面積を求める。底面の円周×高さです。半径2cm、高さ5cmなら、4π×5＝20πcm²です。
③底面2面と側面を足す。4π×2＋20π＝28πcm²。最後に円が2枚分入っているか、単位がcm²かを確認します。
慣れるまでは「底面」「側面」「合計」の3行を別々に書きましょう。
いきなり一つの式にまとめるより、計算を間違えた場所を見つけやすくなります。
例題｜直径8cm、高さ6cmの円柱
直径が与えられたら、最初に半径を求めます。直径8cmの半分なので、半径は4cmです。
8をそのままπr²のrに入れないようにしましょう。
底面1枚：π×4²＝16πcm²
側面：2×π×4×6＝48πcm²
表面積：16π×2＋48π＝80πcm²
定期テストで多い間違いを確認
底面を1枚しか足していない：円柱全体の表面積なら、上下の底面が必要です。「側面積」と「表面積」のどちらを聞かれているか、問題文に線を引きましょう。
側面の横を直径にしている：長方形の横は円周です。半径rなら2πr、直径dならπdと書けます。
表面積と体積を混同している：表面積は表面の広さで、単位はcm²。体積は中の空間の大きさで、πr²h、単位はcm³です。表面積に高さを掛けるのは側面の計算です。
円周率を勝手に3.14にしている：「円周率はπ」とあればπをそのまま使いますが小学生の問題などでは、「3.14とする」と指定がされていますのでそのまま計算します。
保護者の方が復習を手伝うときも、答えだけを見ずに「今求めたのはどの面？」と聞いてみてください。
底面の計算はできても、側面を円の面積で求めてしまうなど、取り違えに気づきやすくなります。
一問一答PDF｜底面・円周・側面・表面積を復習
半径から求める問題、直径から求める問題、側面積が分かっている問題を含む8問を用意しました。
最初に「どの量を求めるか」を確認して解き、間違えた問題は展開図を描いてから解き直しましょう。
中1数学｜円柱の表面積 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
円柱の表面積の公式は何ですか？
底面積×2＋側面積です。半径r、高さhなら、2πr²＋2πrhです。公式の各項が、底面2枚と側面のどちらを表しているかも確認しましょう。
側面積と表面積はどう違いますか？
側面積は、側面の長方形だけの面積です。表面積は、側面積に上下2面の底面積を足したものです。半径3cm、高さ5cmなら、側面積は30πcm²、表面積は48πcm²です。
ふたのない容器でも底面は2面ですか？
開いている部分は面積に含めません。厚さを考えない、上が開いた円柱形の容器の材料の面積なら、底面1面＋側面です。ただし、内側も塗るなど追加の条件があれば、その指定に従います。通常の「円柱の表面積」の問題とは条件を区別しましょう。
答えのπは計算しなくてよいですか？
円周率をπで答える問題では、48πcm²のようにπを残して答えます。9π×2＋30πは、πの係数を足して48πにまとめます。
まとめ｜展開図に戻って、底面2枚と側面を足す
円柱の表面積は、底面2面と側面の合計です。
側面の長方形の横は円周、縦は高さ。
半径と直径を先に確かめ、底面・側面・合計の3行で計算すると、どこを求めているか見失いにくくなります。
学校のワークでも、公式の前に小さな展開図を描く練習から始めてみましょう。
京の算数学 解答#1573
底面1枚は9πcm²、側面は30πcm²です。底面は上下に2枚あるので、9π×2＋30π＝48πcm²になります。
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