アイデア数理塾 京の算数学問題#1572
表のxの値が－2、4、それに対応するyの値が7、－5のとき、この一次関数の変化の割合を求めなさい。
答えは記事の下部にあります。
算数学コラム
一次関数の変化の割合は、「yの増加量÷xの増加量」で求めます。
式がy＝ax＋bなら、変化の割合はxの係数aです。
表から求めるときは、対応する2組の値を選び、xとyで同じ向きに引き算をすることがポイントです。
「公式は覚えたのに、表の問題になると間違える」「マイナスがあると、どちらから引くのか迷う」。
そんなときは、公式を何度も唱えるよりも、計算を3行に分けて書く練習が役立ちます。
今回は、中2数学の定期テスト対策用に、表から変化の割合を求めるやり方をまとめていきます。
変化の割合とは？xが1増えたときのyの変化
変化の割合は、xの変化に対してyがどれだけ変わるかを表す数です。
一次関数で変化の割合が3なら、xが1増えるとyは3増えます
。－2なら、xが1増えるとyは2減ります。
ここでいう「増加量」は、必ず正の数になるわけではありません。
増加量＝後の値－前の値なので、yが8から0に減ったとき、yの増加量は0－8＝－8です。
「8減った」を、計算では「増加量－8」と表します。
表から変化の割合を求める3ステップ
表では、上下に並んだxとyが1組です。
xだけ別の列から選ばず、対応する2組の値を使いましょう。
たとえば左の列から右の列へ進むなら、次の順番で計算します。
- xの増加量を「右のx－左のx」で求める。
- yの増加量も「右のy－左のy」で求める。
- yの増加量をxの増加量で割る。
例として、xが1から4、yが2から11になる一次関数を考えます。
xの増加量は4－1＝3、yの増加量は11－2＝9です。
変化の割合は9÷3＝3。
yが9増えたから答えが9、というわけではありません。
xが3増えた分で割り、xが1増える分にそろえます。
例題｜負の数がある表でも引く順番をそろえる
一次関数の表で、xが－3から1、yが8から0になるときの変化の割合を求めます。
まず、上下の行に同じ向きの矢印を書くつもりで、右の値から左の値を引きましょう。
xの増加量：1－(－3)＝4
yの増加量：0－8＝－8
変化の割合：(－8)÷4＝－2
負の数を引くときは、1－(－3)のように括弧を付けて書くと符号を確認しやすくなります。
式を一度に頭の中で処理せず、「xの増加量」「yの増加量」「割り算」を1行ずつ書くことが大切です。
式がy＝ax＋bなら、変化の割合はa
一次関数y＝ax＋bでは、どの区間でも変化の割合は一定で、aに等しくなります。
y＝－3x＋5なら変化の割合は－3です。
5は切片であり、変化の割合ではありません。
グラフではaを「傾き」と呼びます。
理由も確認しておきましょう。
xがtだけ増えると、yはa(x＋t)＋bになります。
元のax＋bとの差はatです。
したがって、yの増加量atをxの増加量tで割るとaになります。
変化の割合を計算する際には、xの増加量が0でない2組の値を使います。
「変化の割合」と「yの増加量」を区別する
定期テストでは、変化の割合ではなく、yの増加量を聞かれることもあります。
この場合は、yの増加量＝変化の割合×xの増加量を使います。
たとえばy＝－3x＋1で、xが4増えるとき、yの増加量は－3×4＝－12です。
答えが－3になるのは「変化の割合」を聞かれた場合です。
問題文の「何を求めなさい」に線を引いてから計算を始めましょう。
定期テストで多い3つの間違い
- xとyの引く順番が逆になる：xは右－左、yは左－右、とすると符号が変わります。上下とも同じ向きにそろえます。
- xの増加量で割り忘れる：yの増加量だけで答えないように、最後の割り算まで書きます。
- y÷xで計算する：割るのは値そのものではなく、それぞれの増加量です。比例の式で使うy÷xと混同しないようにしましょう。
保護者の方が復習を手伝うときは、正解かどうかだけでなく「xはいくつ変わった？」「yはいくつ変わった？」と順番に聞いてみてください。
計算ミスなのか、増加量の意味が曖昧なのかが見つけやすくなります。
テスト前10分｜一問一答PDFで確認しよう
式から求める問題、表から求める問題、負の数・分数を含む問題、yの増加量を求める問題を10問にまとめました。最初の5分で解き、後半の5分で間違えた問題の「増加量」を書き直す使い方がおすすめです。学校のワークも、答えだけでなく途中の3行を残して解き直しましょう。
中2数学｜一次関数の変化の割合 一問一答10問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
変化の割合がマイナスになるのはなぜですか？
xが増えるとyが減る一次関数では、yの増加量が負の数になるためです。たとえばxが2増え、yが6減るなら、変化の割合は(－6)÷2＝－3です。
表のどの2組を選んでもよいですか？
一次関数であることが分かっている表なら、xの値が異なるどの2組を選んでも、変化の割合は同じです。xとyの対応を崩さず、計算しやすい2組を選びましょう。
変化の割合と傾きは同じですか？
一次関数では同じ数です。y＝ax＋bのaが変化の割合で、グラフの傾きでもあります。表の計算とグラフの「横に進む量・縦に変わる量」をつなげて理解しましょう。
増加量を逆向きに計算してもよいですか？
変化の割合を求めるために2組の値を比べる場合は、xとyの両方を同じ逆向きに引けば、割り算の答えは同じです。ただし「xが1から4へ変わるときの増加量」のように向きが指定されている場合は、指定された後の値から前の値を引きます。
まとめ｜増加量を2つ書いてから割る
変化の割合は「yの増加量÷xの増加量」です。表では上下で引く向きをそろえ、負の数には括弧を付けます。式がy＝ax＋bならaを確認し、yの増加量を聞かれたときはaとxの増加量を掛けましょう。「何を求めるか」と「どちら向きに変わるか」の2点を押さえると、基礎問題を落ち着いて解けます。
京の算数学 解答#1572
xの増加量は6、yの増加量は－12です。
したがって変化の割合は(－12)÷6＝－2。
xが1増えるとyが2減る、と意味まで確かめておきましょう。
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