アイデア数理塾 京の算数学問題#1592
二次方程式2x²−4x−1＝0を解の公式を使って解きなさい。
途中の式も書きましょう。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
解の公式を使うときは、ax²＋bx＋c＝0の形に直し、a・b・cを符号ごと代入します。
解の公式はx＝{−b±√(b²−4ac)}/(2a)です。
ここはテキストの表記上非常にわかりづらいので下記公式の画像を参照。
a≠0で、根号の中が0以上なら中学校で扱う数の範囲で解を求められます。
bが負なら−bが正になる点と、分子全体を約分する点を確認しましょう。
「公式は言えるのに答えが合わない」ときは、暗記し直す前に、係数の読み取り・根号の中の計算・約分のどこで変わったかを見つけます。
今回は2x²−4x−1＝0を使って、途中式を分けながら進めましょう。
準備｜右辺を0にし、a・b・cを決める
解の公式に入れるa、b、cは、ax²＋bx＋c＝0に整理した後の係数です。
2x²−4x−1＝0なら、a＝2、b＝−4、c＝−1です。
−4xを見てb＝4と読まないように、負号まで含めて書きます。
たとえばx²＋2x＝4なら、x²＋2x−4＝0に直してからa＝1、b＝2、c＝−4と決めます。
x²の前に数字が書かれていなくても、係数は1です。
右辺の4をそのままcに使うと、別の方程式を解くことになります。
手順①｜bがマイナスのとき、−bをかっこで書く
今回のbは−4です。
公式の−bは、−(−4)＝4になります。
「公式にマイナスがあるから−4」と書くと、b自身の負号を見落とします。
負の数を代入するときは、いったんかっこを付けましょう。
またb²は(−4)²＝16です。−4²という書き方では、通常は−(4²)＝−16を表します。
代入した負の数全体を2乗するため、途中式のかっこには意味があります。
手順②｜根号の中と分母を別々に計算する
根号の中は、b²−4ac＝(−4)²−4×2×(−1)＝16＋8＝24です。
cが負なので、−4×2×(−1)は＋8になります。
−4acの符号を先に確認し、積を計算してから足しましょう。
分母は2a＝2×2＝4です。
公式の分母を2だけにしたり、aだけにしたりしていないか見直します。
分子の−b、根号の中、分母2aを別々に計算すると、1行に詰め込むより確認しやすくなります。
手順③｜√24を2√6に直す
ここまでを公式に入れると、x＝(4±√24)/4です。
この記事では、/の前のかっこ全体が分子であることを表しています。
根号を簡単にするため、24＝4×6と分けます。
√24＝√4×√6＝2√6なので、x＝(4±2√6)/4です。
√24を12にしたり、√4＋√6と足し算にしたりはできません。
2乗の数を掛け算の形で取り出すのがポイントです。
手順④｜分子の両方の項と分母を同じ数で割る
x＝(4±2√6)/4では、分子の4と2√6の両方が2を因数に持ちます。
分子を2(2±√6)とくくり、分母の4と共通する2を約分すると、x＝(2±√6)/2です。
分子の4だけを4で割り、2√6をそのまま残すような約分はできません。
分子全体と分母を同じ数で割る必要があります。
別の書き方ならx＝1±√6/2ですが、途中ではかっこ付きの分数にそろえると確認しやすくなります。
±は、＋を選んだ解と−を選んだ解をまとめた記号です。
この問題の解は(2＋√6)/2、(2−√6)/2の2つです。
平方根を使う答えでは、片方を書き忘れていないかも確認してください。
別の例題｜x²−2x−2＝0を解く
a＝1、b＝−2、c＝−2なので、−b＝2、b²−4ac＝4＋8＝12、2a＝2です。
したがってx＝(2±√12)/2＝(2±2√3)/2＝1±√3となります。
この例では、分子の2と2√3を両方2で割れるので、最後に分母がなくなります。
先ほどの(2±√6)/2では、√6の前に2がないため、分母をそのまま消すことはできません。
答えの形が似ていても、共通因数を確認して約分しましょう。
検算｜元の方程式に代入して確かめる
今回の解をx＝1＋tと書くと、t＝±√6/2で、t²＝3/2です。
元の左辺は2(1＋t)²−4(1＋t)−1＝2t²−3となり、2×3/2−3＝0。
＋と−のどちらでも元の式が成り立つことを確かめられます。
テストで毎回この検算を書く必要があるとは限りませんが、練習では元の式に戻る習慣を付けましょう。
近似値の小数で確かめるより、根号のまま計算すれば正確に一致するか確認できます。
因数分解との使い分け｜式の形を先に見る
解の公式は、整数の組がすぐに見つからない問題にも使えます。
ただしx²−5x＋6＝0のように(x−2)(x−3)＝0とすぐ因数分解できるなら、その方が計算を短くできます。
平方の形で解けるものも含め、式の形と問題の指定に合わせて選びましょう。
問題に「解の公式を使って」と指定されている場合は、公式への代入が分かる途中式を残します。
「解きなさい」だけなら、授業で習った方法の中から、計算しやすい方法を選んでかまいません。
一問一答PDF｜符号・ルート・約分を8問で復習
係数の読み取りから、−b、根号の中、ルートの整理、公式への代入、約分、別の方程式までを8問にまとめました。
1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
誤答は「符号」「根号」「約分」「整理する前の係数」のどこで生じたかを記録してみましょう。
中3数学｜解の公式の符号と約分 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
解の公式でbがマイナスのとき、−bはどうなりますか？
負の数にマイナスを付けるので正になります。b＝−4なら−b＝−(−4)＝4です。b²も(−4)²と、負号を含めてかっこ付きで代入します。
解の公式に入れる前に右辺を0にするのはなぜですか？
a・b・cはax²＋bx＋c＝0に整理した後の係数だからです。x²＋2x＝4ならcは4ではなく、移項した後の−4です。
分子に足し算や引き算があるとき、約分できますか？
分子のすべての項に共通する因数があり、分母にも同じ因数があるときにできます。(4±2√6)/4は分子全体を2でくくり、(2±√6)/2となります。
根号の中がマイナスになったらどうしますか？
まず代入と符号を見直します。正しく計算しても負なら、実数の範囲では解がありません。今回の記事とPDFは、根号の中が0以上になる問題を扱っています。
まとめ｜係数の符号と、分子全体の約分を確認する
右辺を0にし、a・b・cを符号ごと読み取ります。
負の係数はかっこ付きで代入し、−b、根号の中、2aを順に計算しましょう。
最後はルートを簡単にし、分子全体の共通因数で約分して、±の両方の解を答えます。
京の算数学 解答#1592
a＝2、b＝−4、c＝−1より、x＝{4±√(16＋8)}/4＝(4±2√6)/4。約分して、x＝(2±√6)/2です。
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