アイデア数理塾 京の算数学問題#1570
算数学コラム
今回は因数分解でも特に重要な公式について解説をしていきます。
x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
中3の因数分解では、x²の係数が1で、xの項と定数項がある式に使う基本公式です。
公式の形を覚えるだけでなく、「和」と「積」の条件を両方満たす2数を探せるようにしましょう。
公式は展開を逆向きにしたもの
まず右辺を展開してみます。
(x＋a)(x＋b)
＝x²＋bx＋ax＋ab
＝x²＋(a＋b)x＋ab
真ん中のxの係数にはa＋b（2数の和）が入り、最後の定数項にはab（2数の積）が入ります。
因数分解では、この展開を逆にたどります。
xの係数と定数項から2数を探す
式 x²＋px＋q を因数分解するときは、次の条件を満たす2数a、bを探します。
- a＋b＝p：2数の和がxの係数
- ab＝q：2数の積が定数項
和だけ、または積だけが合っていても正解にはなりません。
候補が見つかったら、2つの条件を必ず確かめます。
例題｜x²＋7x＋12を因数分解する
和が7、積が12になる2数を探します。
12の組み合わせは1と12、2と6、3と4です。
このうち和が7になるのは3と4です。
3＋4＝7、3×4＝12なので、公式に当てはめて、
x²＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)
展開して(x＋3)(x＋4)＝x²＋7x＋12と元の式に戻ることも確認できます。
マイナスがあるときは符号にも注目
定数項がマイナスなら、積がマイナスになるので、2数の符号は異なります。
和の符号を見て、絶対値の大きい方の符号を決めましょう。
たとえば、x²−x−20では、積が−20となる組のうち、和が−1になるのは4と−5です。
x²−x−20＝(x＋4)(x−5)
定数項がプラスでxの係数がマイナスなら、2数はどちらもマイナスです。
例として、x²−7x＋10＝(x−5)(x−2)となります。
定期テストでの確認手順
- x²の係数が1か確認する。
- 定数項の積になる2数を探す。
- その2数の和がxの係数になるか確認する。
- (x＋a)(x＋b)に当てはめ、展開して確かめる。
教室でも、候補の2数を見つけたところで安心し、和の確認を忘れてしまうことがあります。答案に「和」と「積」を一度書き出すと、符号のミスにも気づきやすくなります。
一問一答PDFで練習
符号が異なる式、係数がマイナスの式も含め、積と和の公式だけを8問にまとめました。問題を解いたら、解答で選んだ2数の和と積まで確かめてください。
※A4・全3ページ（使い方／問題／解答）。
よくある質問
aとbには何を入れればよいですか？
式x²＋px＋qでは、和がp、積がqになる2数をa、bにします。見つけた2数を足し算とかけ算の両方で確認しましょう。
和と積の片方だけ合っていればよいですか？
いいえ。和がxの係数に一致し、積が定数項に一致する必要があります。両方を確認してから因数の形にします。
この公式はどんな二次式にも使えますか？
この形の公式は、x²の係数が1の式x²＋px＋qに使います。x²の係数が1でない場合は、共通因数をくくるなど別の工夫が必要です。
まとめ｜2数の和と積を確かめる
x²＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)では、aとbの和がxの係数、積が定数項になります。符号に気をつけながら2数を探し、展開して元の式に戻るか確かめましょう。
京の算数学 解答#1570
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