アイデア数理塾 京の算数学問題#1569
算数学コラム
因数分解は、展開を逆向きにたどって、式をかけ算の形に直すことです。
定期テストでは、公式を覚えているかだけでなく、「どの形に気づいたか」「最初に共通因数をくくったか」が得点の分かれ目になります。
塾でも公式をすぐ当てはめようとして、式の一部だけを見てしまうケースがよくあります。
まず式全体を見渡し、項の数、符号、共通している数や文字を確かめてから公式を選びましょう。
今回は基本公式の中でも見落とされがちな3つの公式を扱います。
x²＋(a+b)x+ab＝(x+a)(x＋b)は基本公式の中でも最も重要な公式ですが、この公式は後日また詳しく触れたいと思います。
最初に共通因数を探す
すべての項に共通する数や文字があるときは、先にくくり出します。
たとえば、6x²＋9x＝3x(2x＋3)です。
共通因数を見つける前に公式を探すと、式の形がわからないことが多いです。
3つの基本公式は「項の数」と「符号」で見分ける
中学数学でよく使う形を、確認する順番と合わせて整理します。
- 共通因数：ax＋ay＝a(x＋y)。まず全ての項に同じ数・文字があるか確認します。
- 平方の差：a²−b²＝(a−b)(a＋b)。2項の差で、両方が平方数の形です。
- 完全平方：a²＋2ab＋b²＝(a＋b)²、a²−2ab＋b²＝(a−b)²。3項で、両端が平方数、中央がその積の2倍になっています。
例題｜x²−6x＋9を因数分解する
まず、3項の式であることに注目します。最初と最後はそれぞれx²、3²です。
中央の項は−2×x×3＝−6xなので、完全平方の公式に当てはまります。
x²−6x＋9
＝x²−2×x×3＋3²
＝(x−3)²
最後に展開して、元の式に戻るか確かめます。
(x−3)²＝(x−3)(x−3)＝x²−6x＋9です。
元に戻れば因数分解は正しくできています。
テストでよくある間違い
- 共通因数をくくり忘れる：式全体を見て、全ての項に共通する数・文字を先に探します。
- 平方の差と完全平方を混同する：平方の差は2項、完全平方は3項です。
- 完全平方の中央の符号を間違える：中央が−2abなら(a−b)²、＋2abなら(a＋b)²です。
- 最後の確認をしない：展開して元の式に戻るか確かめると、符号や係数のミスに気づけます。
一問一答PDFで定期テスト前に確認
共通因数、平方の差、完全平方、2数の組み合わせを使う問題を12問にまとめました。
問題ページを先に解き、解答ページで「どの公式を使うか」の判断まで確認してください。
※A4・全3ページ（使い方／問題／解答）。
よくある質問
因数分解は展開とどう違いますか？
展開はかけ算の形を足し算の形に広げる操作で、因数分解はその逆です。
たとえば(x＋2)(x＋3)を展開するとx²＋5x＋6、x²＋5x＋6を因数分解すると(x＋2)(x＋3)になります。
公式を使う前に何を確認すればよいですか？
まず共通因数がないかを確認します。
その後、項の数や符号を見て、平方の差か完全平方か、または他の因数分解の形かを考えます。
因数分解できたか確かめる方法はありますか？
因数分解した式を展開し、問題の式と一致するか確かめます。
特に中央の項の符号と係数を確認しましょう。
まとめ｜式の形を見てから公式を選ぼう
因数分解では、①共通因数を探す、②項の数と符号を見る、③公式に当てはめる、④展開して確認する、の順番が基本です。公式の名前だけで覚えるのではなく、式がその形になる理由も説明できるように練習しましょう。
京の算数学 解答#1569
おすすめの算数学ブログ
関連する中3数学の計算や公式も、あわせて復習してみましょう。
- 平方根とルートの計算方法について：平方の形や展開を確かめるときの復習に役立ちます。
- 中学数学でつまずきやすい難単元まとめ：中学数学の単元を広く振り返れます。
- これでバッチリ！因数分解の解き方のイロハ：因数分解の基本をもう一度確認できます。
