アイデア数理塾 京の算数学問題#1565
算数学コラム
三平方の定理(ピタゴラスの定理)は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す定理です。
直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると、a²＋b²＝c²
テストでは、式を覚えるだけでなく「どの辺が斜辺か」を正しく見つけることが得点のカギになります。
塾で生徒たちの解いているところを見ていると、公式を知っているのに、直角の位置を確かめずに斜辺を決めたり、求めたい式がたし算なのか？引き算なのか？わからないといったミスがよくあります。
直角の対辺が必ず斜辺なので、直角を確認してから式を作っていく習慣をつけましょう。
三平方の定理とは？斜辺はどの辺？
直角三角形で、直角の向かい側にある辺を斜辺といいます。
斜辺は直角三角形の中で最も長い辺です。
残りの2辺（直角をはさむ辺）を a、b、斜辺を c とすると、次の関係が成り立ちます。
a²＋b²＝c²
公式の c は必ず斜辺です。
図形の向きが変わっていても、直角のマークを探し、その向かい側の辺を確認してください。
例題1｜斜辺の長さを求める
直角をはさむ2辺が6cm、8cmのとき、斜辺を求めます。
斜辺を c とすると、6²＋8²＝c²になります。
36＋64＝c²
100＝c²
x>0だから
c＝10
辺の長さは正なので、答えは10cmです。
6＋8＝14と足すのではなく、それぞれを2乗してから足すのがポイントです。
例題2｜斜辺以外の辺を求める
斜辺が13cm、もう一方の辺が5cmのとき、残りの辺を x cm とします。
斜辺が c なので、x²＋5²＝13²
x²＝169−25＝144
x>0だから
x＝12
この場合は、斜辺の2乗から分かっている辺の2乗を引きます。
答えは12cmです。
長さなので、x＝−12は答えにしません。
例題3｜3辺から直角三角形か判定する
3辺が6cm、8cm、10cmの三角形が直角三角形かを調べます。
一番長い10cmを斜辺候補にして、6²＋8²＝10²を確かめます。
36＋64＝100で等しいため、この三角形は直角三角形です。
3辺を小さい順に選んで計算するのではなく、一番長い辺が必ず斜辺になるのがコツです。
定期テストで多い3つのミス
- 斜辺を取り違える 直角の向かい側が斜辺です。図の上下左右では決まりません。
- 辺の長さをそのまま足す a²＋b²なので、先にそれぞれを2乗します。
- 他の辺を求めるのに足してしまう 斜辺 c が分かっているときは、c²からもう一辺の2乗を引きます。
平方根を使う問題では、最後に正の値を選び、長さの単位を書き忘れていないかも確認しましょう。
答案を書くときのチェック順
- 直角のマークを確認する。
- 直角の向かい側を斜辺として特定する。
- 斜辺を c として a²＋b²＝c² に当てはめる。
- 求めたい辺に合わせて足し算・引き算を整理する。
- 長さなので正の値を選び、単位を付ける。（x>0なのでを書く癖をつけておきましょう！）
途中式を一行ずつ書けば、斜辺を入れ替えたときや、2乗を忘れたときにも見直しやすくなります。
一問一答PDFでテスト前チェック
公式、斜辺の求め方、他の辺の求め方、直角三角形の判定まで12問にまとめました。
解答には計算のポイントも付けています。
まず問題ページを解き、間違えた番号を解答ページで確認しましょう。
※A4・全3ページ（使い方／問題／解答）。テスト前の確認にご利用ください。
よくある質問
斜辺はどの辺ですか？
直角の向かい側にある辺です。直角三角形の中で最も長く、三平方の定理 a²＋b²＝c² では c に当たります。
斜辺以外の辺を求めるときも、2乗を足しますか？
式は a²＋b²＝c² ですが、斜辺 c が分かっている場合は、求めたい辺の2乗＝c²−もう一方の辺の2乗と整理します。
3辺が分かれば、直角三角形か判定できますか？
最も長い辺を c として、残り2辺の2乗の和が c² と等しいか調べます。
等しければ直角三角形です。
例えば6、8、10なら36＋64＝100なので直角三角形です。
まとめ｜直角と斜辺を見つけてから式にする
- 斜辺は直角の向かい側にある。
- 直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると a²＋b²＝c²。
- 斜辺以外の辺は、斜辺の2乗からもう一辺の2乗を引く。
- 答えは長さなので正の値を選び、単位も書く。
まず図で直角と斜辺を確認し、式を立ててから計算する。この順番で、定期テストの計算ミスを減らしていきましょう。
京の算数学 解答#1565
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