アイデア数理塾 京の算数学問題#1453
算数学コラム
長方形の面積は、たて×よこで求めます。
学校では公式として覚えることが多いですが、
「どうしてかけ算になるの？」
「たてとよこを足すのではだめなの？」
と疑問に思う子もいます。
面積が「たて×よこ」で求められるのは、
同じ大きさのマスが全部でいくつあるかを数えているからです。
面積とは何？
面積とは、形の中にある広さのことです。
たとえば、ノートの表紙や机の上、教室の床にも広さがあります。
家の土地なども見た目で判断するより明確な指標がないとこまりますよね。
ただ「広い」「せまい」だけでは比べにくいため、同じ大きさの正方形が何個入るかで表します。
1辺が1cmの正方形1個分の広さを、
1平方センチメートル（1㎠）といいます。
まずはマスを数えてみよう
たてが3cm、よこが4cmの長方形を考えます。
この長方形を、1辺が1cmの正方形で区切ると、次のようになります。
- 1列に3個のマスがある
- その列が4列ある
つまり、
3個ずつのマスが4列並んでいます。
全部のマスを数えると、3＋3＋3＋3＝12です。
これはかけ算で、3×4＝12と表せます。
そのため、面積は、たて3cm×よこ4cm＝12㎠となります。
なぜ足し算ではなく、かけ算なの？
面積では、同じ数のマスが何列も並んでいます。
たて3cm、よこ4cmの場合は、
- 3個のマス
- それが4列
という並びです。
同じ数を何回も足すときは、かけ算を使います。
3＋3＋3＋3を、
3×4と書けるのと同じです。
つまり「たて×よこ」は、突然出てきた公式ではありません。
マスを全部数える足し算を、かけ算で短く表したものです。
「たて×よこ」と「よこ×たて」は違う？
たて3cm、よこ4cmなら、
- 3×4＝12
- 4×3＝12
どちらでも答えは同じです。
見方が少し違うだけです。
3×4なら、3個ずつの列が4つ。
4×3なら、4個ずつの段が3つ。
どちらも同じ12個のマスを数えています。
そのため、長方形の面積は「よこ×たて」で求めても同じ答えになります。
長さを足すと何が分かる？
たてとよこを足しても、面積は求められません。
たとえば、たて3cm、よこ4cmなら、
3＋4＝7
です。
しかし、7㎠が長方形の広さになるわけではありません。
長さを足しただけでは、中にマスが何個あるかは分からないからです。
長方形の周りの長さを求める場合は、
3＋4＋3＋4＝14cm
と足し算を使います。
つまり、
- 中の広さ→面積
- 周囲の辺を全てたしたもの→周りの長さ
です。
ここを混同しないことが大切です。
単位が「㎠」になるのはなぜ？
たて3cmとよこ4cmをかけると、3cm×4cmとなります。
これは、1cm×1cmの正方形が12個あるという意味です。
そのため、単位は「cm」ではなく、平方センチメートル（㎠）になります。
「平方」というのは、2乗（同じものを二回かけている）という意味です。
大きな長方形でも考え方は同じ
たて20cm、よこ30cmの長方形でも、考え方は同じです。
1㎠のマスを本当に全部描くと大変ですが、
- たてに20個
- よこに30列
あると考えれば、20×30＝600となります。
したがって、面積は600㎠です。
公式を使うことで、マスを一つずつ数えなくても求められます。
正方形の面積はなぜ「一辺×一辺」？
正方形は、たてとよこの長さが同じ形です。
ですのでたてとよこの区別はなく共に区別しない一辺という呼び方になります。
一辺が5cmなら、
- たて5cm
- よこ5cm
なので、
5×5＝25となります。
そのため、正方形の面積は、一辺×一辺で求めます。
これも、1㎠のマスが何個あるかを数えているだけです。
三角形の面積にもつながる
三角形の面積は、底辺×高さ÷2で求めます。
これは、同じ形の三角形を2つ合わせると、長方形や平行四辺形になることが関係しています。
長方形や平行四辺形の面積を求めて、その半分にするため、最後に2で割ります。
つまり、三角形の公式も、もとをたどると長方形の「たて×よこ」の考え方につながっています。
面積が苦手な子に多いつまずき
面積の問題で止まりやすい子には、次のような様子があります。
- 面積と周の長さが混ざっている
- どこがたてで、どこがよこか分からない
- 単位を㎠にする理由が分からない
- 公式だけを覚えている
- 複雑な形になると手が止まる
公式を覚え直すだけではなく、方眼紙のマスを実際に数えてみると、理解しやすくなることがあります。
家庭でできる面積の学び
面積は、生活の中でも考えられます。
たとえば、
- ノートの表紙
- テーブルの天板
- 部屋の床
- 折り紙
- タイル
- ハンカチ
などです。
方眼紙の上に消しゴムや本を置き、何マス分あるかを数えてみるのもよい学習になります。
公式を使う前に、広さをマスで捉える経験があると理解が深まりやすくなります。
京都・中京区で図形や面積に不安がある方へ
アイデア数理塾では、面積の公式を覚えるだけでなく、
- 何を数えているのか
- なぜかけ算を使うのか
- 面積と周の長さは何が違うのか
- 複雑な形をどう分けるのか
を考えることを大切にしています。
公式を忘れても、図やマスから考え直せるようになると、その後の図形問題にもつながります。
まとめ 「たて×よこ」はマスの数を求めている
長方形の面積が「たて×よこ」で求められるのは、1㎠のマスが全部でいくつ入るかを数えているからです。
たてに並ぶマスの数と、よこに並ぶ列の数をかけることで、全部のマスを一度に求められます。
公式として覚えるだけでなく、同じ大きさのマスを数えていると理解すると、面積の意味が分かりやすくなります。
京の算数学 解答#1453
