アイデア数理塾 京の算数学問題#1558
算数学コラム
円周角の問題は、「どの弧を見ている角か」をそろえると解きやすくなります。
同じ弧に対する円周角は等しく、中心角は円周角の2倍です。
中学3年生の定期テストでは、角度の公式を覚えていても「どの角に使うのか」で迷うことがあります。
教室でも、図にある数字だけを追って、角の頂点が円周上か中心かを確認し忘れるケースをよく見ます。
今回は、円周角・中心角・直径に対する円周角を図で区別し、1つの例題を使って解く順番を整理します。
図の見た目だけで角度を決めず、定理と理由をセットで使っていきましょう。
円周角と中心角を見分けよう
円周角は、頂点が円周上にあり、両辺が円と交わる角です。中心角は、頂点が円の中心にある角です。
同じ弧ABに対する∠ACBは円周角、∠AOBは中心角です。文字の真ん中が頂点なので、∠ACBの頂点はC、∠AOBの頂点はOだと読み取れます。
円周角の定理はまず2つ押さえる
角度問題で最初に使う定理は、次の2つです。
- 同じ弧に対する円周角は等しい。
- 同じ弧に対する中心角は、円周角の2倍。
中心角と円周角は、どちらも同じ弧ABを見ています。
中心角の大きさが円周角の2倍になる関係を、図の中でセットにして覚えましょう。
例題｜中心角と、もう1つの円周角を求める
問題図で、∠ACB＝40°です。∠AOBと∠ADBの大きさを求めましょう。
ポイントは、どちらの角も弧ABに注目していることです。
1. 中心角∠AOBを求める
∠AOBは中心角、∠ACBは円周角で、同じ弧ABに対する角です。中心角は円周角の2倍なので、
∠AOB＝2×40°＝80°
中心角を円周角で割るのではなく、円周角を2倍します。
2. 円周角∠ADBを求める
∠ACBと∠ADBは、どちらも同じ弧ABに対する円周角です。したがって、
∠ADB＝∠ACB＝40°
円周上の別の場所に頂点があっても、同じ弧を見ていれば角度は等しくなります。
直径に対する円周角は90°
円の直径の両端をA、Bとし、円周上にCをとると、中心角∠AOBは一直線の角で180°です。円周角はその半分なので、
直径に対する円周角は90°
直径が図にあるときは、円周角が直角になることを先に書き込むと、直角三角形の問題として整理できます。
定期テストで起こりやすい3つのミス
- 中心角と円周角の倍率を逆にする。同じ弧なら、中心角＝円周角×2です。円周角は中心角の半分です。
- 同じ弧か確かめずに「等しい」とする。角の頂点と、両辺が円と交わる点を見て、見ている弧を確認しましょう。
- 図の見た目で角度を決める。図が正確な縮尺とは限りません。問題に書かれた条件と定理を根拠にします。
塾の演習では、分かったつもりでも、角の頂点を記号で指してもらうと混乱が見つかることがあります。「この角の頂点はどこ？」「何の弧を見ている？」を声に出して確かめると、公式の選び間違いが減ります。
問題を見たら、この順で書き込む
- 円の中心を見つけ、中心角の頂点に印を付ける。
- 与えられた円周角の2辺が切り取る弧を確認する。
- 同じ弧に対する円周角・中心角を探す。
- 「等しい」か「2倍」かを決め、式にする。
- 求めた角度が図形の条件と合うか確認する。
一問一答PDFでテスト前に確認
円周角と中心角の関係、同じ弧に対する角、直径に対する円周角を12問で確認できるPDFを用意しました。問題ページを先に解き、解答ページでは公式だけでなく理由もチェックしてください。
※A4・全3ページ（表紙／問題／解答）。印刷して、テスト前の確認に使えます。
よくある質問
円周角とは何ですか？
頂点が円周上にあり、両辺が円と交わってできる角です。頂点が円の中心にある角は中心角といいます。
同じ弧に対する円周角は、なぜ等しいのですか？
円周角の定理による性質です。角の頂点が円周上の別の位置に移っても、同じ弧を見ていれば円周角の大きさは変わりません。
中心角と円周角は、どちらが大きいですか？
同じ弧に対する中心角は、円周角の2倍です。たとえば円周角が35°なら、対応する中心角は70°です。
直径を見つけたら何が分かりますか？
直径に対する円周角は90°です。直径の両端と円周上の点を結ぶと、直角三角形になります。
まとめ｜「同じ弧」を手がかりにしよう
円周角の定理を使うときは、角の名前だけで判断せず、頂点と弧を確認します。
- 同じ弧に対する円周角は等しい。
- 中心角は、同じ弧に対する円周角の2倍。
- 直径に対する円周角は90°。
定期テストでは「同じ弧を見ているか」を図に印を付けてから式にすると、定理を選びやすくなります。角の位置関係と理由まで説明できるように練習しましょう。
京都市中京区で数学・理科の定期テスト対策をお探しの方へ
アイデア数理塾は、小学1年生から高校生までを対象に、少人数・個別指導で学習をサポートしています。円の角度問題では、公式を覚えるだけでなく「どの弧を見ているか」を自分で説明できることが大切です。
アイデア数理塾の考え方・特徴はこちら。教室や学習についてのご相談は、無料相談のお申し込みフォームから受け付けています。
京の算数学 解答#1558
