アイデア数理塾 京の算数学問題#1555
算数学コラム
対頂角を使う合同の証明は、「比べる三角形を書く→仮定を2つ書く→対頂角を書く→合同条件を選ぶ→対応順をそろえて結論を書く」の5ステップで整理できます。
中学2年生の定期テストでは、図を見れば合同だと分かっていても、答案としてどう書けばよいか迷う生徒が少なくありません。教室でよく見られるのは、仮定の2組の辺までは書けたのに、3つ目の根拠を探せず手が止まるケースです。
交わる2直線がある図では、その3つ目が対頂角になることがよくあります。この記事では、問題画像の証明を例に、減点されにくい書き方を順番に解説します。
最初に対応する頂点をそろえよう
今回証明するのは、△AOCと△BODの合同です。対応は次のようになります。
- AとB
- OとO
- CとD
したがって、三角形の名前は△AOC≡△BODの順に書きます。Aに対応するB、Oに対応するO、Cに対応するDを同じ位置に並べるのがポイントです。
証明を書き始める前に、図へ同じ印を付けたり、「A↔B、O↔O、C↔D」と余白へメモしたりすると、最後の対応順のミスを防ぎやすくなります。
合同の証明を5ステップで書く
定期テストでは、次の型に沿って書くと根拠が抜けにくくなります。
- 比べる2つの三角形を書く
- 仮定から等しい辺や角を書く
- 図形の性質からもう1つの等しさを見つける
- 当てはまる合同条件を書く
- 対応順をそろえて結論を書く
証明が苦手なときは、文章を一気に完成させようとせず、まずこの5項目を答案の骨組みにしましょう。
ステップ1 比べる三角形を書く
書き出しは、「△AOCと△BODにおいて」です。どの2つの三角形を比べる証明なのかを最初にはっきりさせます。
図に三角形が複数ある問題ほど、この一文が大切です。ここで対応順まで意識すると、後の辺や角も同じ順に書きやすくなります。
ステップ2 仮定から分かる2組の辺を書く
問題文の仮定はAO＝BO、CO＝DOです。したがって、答案には次のように書けます。
仮定より
AO＝BO …①
CO＝DO …②
「図で同じ長さに見えるから」ではなく、問題文で与えられた条件だから等しいという根拠を示すために、「仮定より」と書きます。
ステップ3 対頂角から1組の角を書く
直線ABと直線CDは点Oで交わっています。このとき、向かい合う∠AOCと∠BODは対頂角です。
対頂角は等しいので
∠AOC＝∠BOD …③
ここで「対頂角は等しい」とだけ書くのではなく、どの角とどの角が等しいかまで式で示しましょう。角の中央の文字は頂点なので、どちらもOになります。
ステップ4 使う合同条件を選ぶ
①②③で分かったのは、AO＝BO、CO＝DO、∠AOC＝∠BODです。等しい角は、等しい2辺にはさまれています。
したがって使う合同条件は、「2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」です。
「辺が2組、角が1組あるから」と数だけで決めるのは危険です。その角が2辺の間にあるかどうかを確認しましょう。今回の∠AOCはAOとCOの間、∠BODはBOとDOの間にあります。
ステップ5 対応順をそろえて結論を書く
最後は、「よって、△AOC≡△BOD」と書きます。
△AOC≡△DOBのように順番を入れ替えると、AとD、OとO、CとBが対応するという意味になり、証明中の等式と合わなくなります。合同記号の左右にある頂点を、同じ対応順で並べることが重要です。
完成した証明
△AOCと△BODにおいて、
仮定より
AO＝BO …①
CO＝DO …②
対頂角は等しいので
∠AOC＝∠BOD …③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AOC≡△BOD
定期テストで減点されやすい4つのミス
- 図だけを見て辺が等しいと決める
長さが同じように見えても、仮定やすでに証明した内容がなければ使えません。 - 対頂角の組を間違える
隣り合う角ではなく、交点をはさんで向かい合う角を選びます。 - 合同条件を「2辺と1角」と省略する
角の位置が重要なので、「2組の辺とその間の角」と正確に書きます。 - 最後の三角形の対応順がずれる
等しい辺と角を見比べ、対応する頂点を同じ順に並べます。
テスト前10分の練習方法
証明を短時間で復習するときは、1問を眺めるだけでなく、次の4点を紙に書いて確認しましょう。
- 対応する頂点を矢印で結ぶ
- 仮定に色を付ける
- 共通な辺・対頂角・平行線の錯角など、図形の性質から分かる条件を探す
- 3つの合同条件のどれに当てはまるかを言葉で書く
教室では、正解を書き写すよりも「どの1行で止まったか」を確認するようにしています。対頂角が見つからなかったのか、合同条件の名前が出なかったのかを分けると、復習する内容がはっきりします。
テスト対策用「合同の証明 一問一答10問」PDF
対頂角、対応する頂点、3つの合同条件を短時間で確認できる一問一答PDFです。
1ページ目の問題を解いてから、解答と確認ポイントで間違えた理由まで確かめてください。
※A4・全3ページ（表紙／問題／解答）。印刷してテスト前の確認に使えます。
よくある質問
対頂角とは何ですか？
2直線が交わったとき、交点をはさんで向かい合う2つの角です。対頂角の大きさは等しくなります。今回の図では、∠AOCと∠BODが対頂角です。
三角形の名前の順番は重要ですか？
重要です。合同記号の左右では、対応する頂点を同じ順に書きます。△AOCのA、O、Cに対応するのは、△BODのB、O、Dです。
図を見て等しそうなら、証明に使えますか？
見た目だけでは使えません。仮定、共通な辺、対頂角、平行線の性質など、等しいといえる根拠が必要です。答案では根拠と等式をセットで書きましょう。
仮定から2組の辺しか分からないときはどうしますか？
3つ目の条件を図から探します。交わる直線なら対頂角、2つの三角形が辺を共有していれば共通な辺、平行線があれば錯角や同位角が候補になります。
まとめ 仮定2つと対頂角を合同条件につなげよう
対頂角を使う合同の証明は、次の順に整理します。
- 比べる三角形と対応する頂点を確認する
- 仮定から2組の等しい辺を書く
- 対頂角から1組の等しい角を書く
- 「2組の辺とその間の角」が等しいことを示す
- 対応順をそろえて合同を書く
証明は、ひらめきだけで書く問題ではありません。条件を根拠ごとに一つずつ並べれば、白紙のまま止まりにくくなります。
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京の算数学 解答#1555
