アイデア数理塾 京の算数学問題#1559
算数学コラム
確率の問題は、まず「全部の場合」と「条件に合う場合」を分けて数えるのがポイントです。樹形図や表を使うと、数えもれや二重に数えるミスを防ぎやすくなります。
教室でも、確率の計算でつまずく子の多くは、分数の計算より先に「起こりうる結果を全部数えられているか」で迷っています。順番を区別するのか、取り出したものを戻すのかを整理すると、式が立てやすくなります。
今回は、カードを使った例題を樹形図と表の両方で考え、定期テストで間違えやすいポイントを確認します。
確率は「条件に合う場合 ÷ すべての場合」
どの場合も同じ起こりやすさであるとき、確率は次の式で求めます。
確率 ＝ 条件に合う場合の数 ÷ 起こりうるすべての場合の数
たとえば、1から6までの目が同じように出るさいころを1回投げて、偶数が出る確率は、偶数の3通り（2・4・6）を全部の6通りで割るので、3/6＝1/2です。
例題｜カードでできる数が20以上になる確率
1・2・3の数字が書かれたカードから、異なる2枚を1枚ずつ順に引きます。1枚目を十の位、2枚目を一の位にして2けたの数を作るとき、その数が20以上になる確率を求めましょう。引いたカードは戻しません。
ここで大切なのは、十の位と一の位の順番が違えば、別の結果として数えることです。たとえば12と21は、使うカードは同じでも別の2けたの数です。
樹形図で結果をもれなく書き出す
1枚目に1を引いたら、2枚目には2か3を引けます。同じように、1枚目が2なら2枚目は1か3、1枚目が3なら2枚目は1か2です。
できる数は、12・13・21・23・31・32の6通りです。20以上になるのは、十の位が2または3のときなので、21・23・31・32の4通りです。
したがって、求める確率は、4/6＝2/3です。分子と分母を同じ数で割って、約分した形で答えましょう。
表でも「全部」と「条件に合う場合」を確かめる
表の縦を十の位、横を一の位にすると、組み合わせを一覧できます。十の位と一の位が同じマスは、同じカードを2回使うことになるので、この問題では起こりません。
樹形図でも表でも、結果は同じ6通りです。自分が数えやすい方を使ってかまいません。大切なのは、条件で起こらない場合を外しつつ、起こる場合を一つずつ数えることです。
定期テストで起こりやすい3つのミス
- 順番が違う結果を同じにする。12と21のように、十の位と一の位が入れ替わると別の結果です。
- 同じものを戻すか確認しない。「戻さない」なら、同じカードを続けて使う枝や組み合わせはありません。
- 有利な場合だけ数えて終わる。確率では、分母にあたる「すべての場合」も数える必要があります。
特に「順に」「戻して」「戻さずに」という言葉は、結果の数を変えます。問題文に線を引いてから数え始めると、条件の読み落としを防げます。
問題を見たら、この順で整理しよう
- 何を1回の結果とするか決める。
- 順番を区別するか、同じものを戻すか確認する。
- 樹形図か表で、すべての場合を一度ずつ書く。
- 条件に合う場合に印を付ける。
- 「条件に合う場合 ÷ すべての場合」を計算し、約分する。
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よくある質問
確率の分母には何を書きますか？
問題の条件のもとで起こりうる、すべての場合の数を書きます。同じものを戻さない問題では、2回目に選べるものが減る点に注意しましょう。
樹形図と表は、どちらを使えばよいですか？
どちらを使ってもかまいません。順番に選ぶ過程を追いたいときは樹形図、2つの条件を縦横で比べたいときは表が便利です。数えもれと重複がないか確認してください。
12と21は同じ結果として数えますか？
この例題では十の位と一の位を順に決めて数を作るため、12と21は別の結果です。2枚を選ぶだけの問題では順番を区別しない場合もあるので、何を結果としているか問題文で確かめます。
まとめ｜条件を読んでから、場合を数えよう
確率は、全部の場合を正しく数えられると、あとは分数に表すだけです。
- 順番が違えば別の結果か確認する。
- 同じものを戻すか、戻さないか確認する。
- 樹形図や表ですべての場合を書き出す。
- 条件に合う場合を数え、分数を約分する。
「順番」と「戻す条件」を見落とさず、樹形図や表で根拠を見える形にして解いてみましょう。
京の算数学 解答#1559
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