アイデア数理塾 京の算数学問題
算数学コラム
中学1年生の数学「平面図形」で出てくる、垂直と垂線。
「垂直と垂線は、何が違うの？」
「記号の⊥は、どう読めばいいの？」
「斜めに描かれた直線も、垂直になるの？」
このように、言葉と図がうまく結びつかず、迷ってしまうことがあります。
垂直とは、2つの直線が直角に交わる関係のことです。
垂線とは、ある直線に垂直な直線のことです。垂直の関係は、記号「⊥」を使って表します。
今回は、この3つを図と一緒に整理していきましょう。
垂直とは？2つの直線が直角に交わること
2つの直線が交わってできる角の1つが直角のとき、その2直線は垂直であるといいます。
直角は、90°の角です。
例えば、直線lと直線mが90°で交わっていれば、「直線lと直線mは垂直である」といえます。
ここで大切なのは、交わっているだけでは、垂直とはいえないということです。
60°や80°で交わる2直線は、垂直ではありません。
図の交点に小さな四角の印が付いている場合は、その角が直角であることを表しています。
数字の「90°」が書かれていなくても、直角の印があれば判断できます。
垂線とは？ある直線に垂直な直線
ある直線に垂直な直線を、その直線の垂線（すいせん）といいます。
直線mが直線lに垂直なら、直線mは「直線lに対する垂線」です。
垂直と垂線の違いは、次のように整理できます。
| 言葉 | 意味 | 使い方の例 |
|---|---|---|
| 垂直 | 2直線が直角に交わる関係 | 直線lと直線mは垂直である |
| 垂線 | ある直線に垂直な直線 | 直線lに対する垂線mを引く |
垂直は「関係」、垂線は「直線」と考えると、区別しやすくなります。
なお、lとmが垂直なら、mはlに対する垂線であり、lもmに対する垂線です。
記号「⊥」の意味と使い方
「⊥」は、垂直の関係を表す記号です。
直線lと直線mが垂直であることを、
l ⊥ m
と書きます。「直線lと直線mは垂直である」と読みます。
2点の名前を使って直線を表している場合は、
AB ⊥ CD
と書くこともあります。この場合は、「直線ABと直線CDは垂直である」という意味です。
また、l ⊥ mとm ⊥ lは同じ関係を表します。左右を入れ替えても、意味は変わりません。
記号だけを覚えるよりも、「図のどの直線と、どの直線が90°で交わるのか」を確かめながら書くことが大切です。
斜めの直線でも垂直になる？
斜めに描かれていても、90°で交わっていれば垂直です。
「縦の線と横の線が交わっている図」だけを垂直だと思っていると、図の向きが変わったときに迷ってしまいます。
紙を回しても、2直線が交わる角の大きさは変わりません。
垂直かどうかは、線の向きではなく、交わる角が90°かどうかで判断しましょう。
また、垂直に交わる2直線がつくる4つの角は、すべて90°です。
例えば、1つの角が90°なら、その隣の角は180°−90°＝90°となります。
反対側の角も同じように90°になります。
点から垂線を引くとは？「垂線の足」も確認しよう
問題文に「点Pから直線lに垂線を引く」と書かれていたら、次の2つの条件を満たす直線を考えます。
- 点Pを通る。
- 直線lと90°で交わる。
この垂線と直線lが交わる点をHとすると、点Hを**垂線の足（すいせんのあし）**といいます。
記号では、PH ⊥ lと表せます。
さらに、点Pと直線lの距離は、線分PHの長さです。Pと直線上の点を斜めに結んだ線分の長さではありません。
「点から直線までの距離」が出てきたら、まず垂線を探すことを意識しましょう。
なお、平面上では、指定された点を通り、ある直線に垂直な直線は1本に決まります。点がその直線上にある場合も、その点を通る垂線を引くことができます。
定期テストでよくある間違い
①交わっていれば垂直だと思ってしまう
垂直の条件は、直角に交わることです。交わる角の大きさや、直角の印を確認しましょう。
②縦と横の線だけが垂直だと思ってしまう
図が斜めになっていても、90°で交わっていれば垂直です。
図の向きに惑わされないようにしましょう。
③垂線を引いたつもりでも、指定された点を通っていない
「点Pから」と指定されていれば、点Pを通る必要があります。
直角になっているかだけでなく、点を通っているかも確認してください。
④点と直線の距離を、斜めの線分で答えてしまう
点と直線の距離は、垂線の足までの線分の長さです。
図の中から直角の印を見つけると、必要な線分を探しやすくなります。
テスト前に最低限ここだけは確認しよう
| 確認すること | 覚えておきたい内容 |
|---|---|
| 垂直 | 2直線が直角に交わる関係 |
| 垂線 | ある直線に垂直な直線 |
| 直角 | 90° |
| 垂直の記号 | ⊥ |
| 図の向き | 斜めでも90°なら垂直 |
| 垂線の足 | 垂線と元の直線が交わる点 |
| 点と直線の距離 | 点から垂線の足までの線分の長さ |
言葉を覚えたら、図を見て説明できるかも確かめてみましょう。
確認問題
- 2直線が直角に交わるとき、2直線はどのような関係にありますか。
- ある直線に垂直な直線を何といいますか。
- 「直線lと直線mは垂直」を記号で表してください。
- 斜めに描かれた2直線が90°で交わっています。この2直線は垂直ですか。
- 垂直に交わる2直線がつくる4つの角は、それぞれ何度ですか。
- 点Pから直線lに引いた垂線の交点Hを何といいますか。
- このとき、点Pと直線lの距離は、どの線分の長さですか。
確認問題の答え
| 問題 | 解答 |
|---|---|
| 問1 | 垂直 |
| 問2 | その直線に対する垂線 |
| 問3 | l ⊥ m（m ⊥ lでもよい） |
| 問4 | 垂直である |
| 問5 | すべて90° |
| 問6 | 垂線の足 |
| 問7 | 線分PH |
中1数学「垂直と垂線」一問一答PDF
今回の内容を、定期テスト対策用の一問一答PDFにまとめました。
垂直と垂線の違い、記号「⊥」の使い方、垂線の足、点と直線の距離などを、全16問で確認できます。A4・2ページで、1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
▶ 中1数学_垂直と垂線_一問一答.pdf
まとめ｜垂直は「関係」、垂線は「直線」
垂直とは、2つの直線が90°で交わる関係です。垂線とは、ある直線に垂直な直線です。
そして、「直線lと直線mは垂直」という関係を、l ⊥ mと表します。
定期テストでは、用語の意味を答えるだけでなく、図の中から垂直な直線を見つけたり、指定された点を通る垂線を考えたりすることが大切です。
「90°かどうか」「指定された点を通るか」の2つを、図と一緒に確認していきましょう。
京の算数学 解答
