アイデア数理塾 京の算数学問題#1571
算数学コラム
空間図形の問題で「面はいくつ？」「辺は何本？」「頂点はいくつ？」と聞かれると、何を聞かれているか？混乱てしまうことがあります。
角柱と角錐は、底面が何角形かを先に見つけることが大切です。
今回は、中1の定期テストでよく出る三角柱・四角柱・四角錐を例に、面・辺・頂点の数を数える方法を解説します。
まず底面の形を見つける
「三角柱」「四角錐」の三角・四角は、底面の形を表しています。
底面が三角形ならn＝3、四角形ならn＝4です。底面の辺の数をnとして考えましょう。
角柱は底面が2枚ある
角柱には、合同な底面が上と下に2枚あり、側面が底面の辺の数だけあります。
- 面：底面2枚＋側面n枚＝n＋2面
- 辺：底面の辺が上と下にn本ずつ、上下をつなぐ辺がn本＝3n本
- 頂点：底面の頂点が上下にn個ずつ＝2n個
たとえば三角柱はn＝3なので、面は5面、辺は9本、頂点は6個です。
四角柱なら面6面、辺12本、頂点8個になります。
角錐は頂点が1つ集まる
角錐は、底面が1枚あり、底面の各頂点から上の頂点へ辺が伸びます。
側面はすべて三角形です。
- 面：底面1枚＋三角形の側面n枚＝n＋1面
- 辺：底面の辺n本＋上の頂点につながる辺n本＝2n本
- 頂点：底面の頂点n個＋上の頂点1個＝n＋1個
公式の「＋1」は、底面に上の頂点を1つ加えることから出てきます。
例題｜四角錐の面・辺・頂点
四角錐は底面が四角形なので、n＝4です。面は4＋1＝5面、辺は2×4＝8本、頂点は4＋1＝5個です。
図で数えるときは、底面の4つの頂点・4本の辺に、上の頂点とそこへ伸びる4本の辺を足します。
面は、底面1枚と三角形の側面4枚です。
よくある数え間違い
- 四角柱の面を4面と数える：側面4枚だけでなく、底面が上下に2枚あります。
- 角錐の辺を底面だけで数える：頂点と底面をつなぐ辺もあります。
- 面・辺・頂点の公式を入れ替える：角柱は底面2枚、角錐は上の頂点1つ、と図から確認します。
円柱や円錐は底面が円なので、ここで使った「底面がn角形」の公式をそのまま当てはめないようにしましょう。
定期テストでの確認手順
- 角柱か角錐かを見分ける。
- 底面の形を見て、辺の数nを決める。
- 面・辺・頂点をそれぞれ底面と側面に分けて数える。
- 公式を使った場合も、図の数と合っているか確認する。
教室でも、立体の名前は分かっていても、底面と側面を分けずに数えて一つ抜けてしまうことがあります。図に底面の辺を一周なぞってから数えると、数え漏れを防ぎやすくなります。
一問一答PDFで練習
三角柱から六角柱、三角錐から六角錐まで、面・辺・頂点を答える8問をまとめました。答えを見る前に、底面の辺の数nも書き出してみてください。
※A4・全3ページ（使い方／問題／解答）。
よくある質問
三角柱の頂点はいくつですか？
6個です。上下の三角形に頂点が3個ずつあるので、3×2＝6個です。
四角錐の辺はいくつですか？
8本です。底面の辺が4本、底面の各頂点から上の頂点へ伸びる辺が4本あります。
円柱にも角柱の公式を使えますか？
使えません。角柱の公式は、底面が三角形や四角形などの多角形である立体についての数え方です。円柱は底面が円なので、別に考えます。
まとめ｜底面の辺の数から整理する
角柱・角錐の面、辺、頂点を数えるときは、最初に底面の辺の数nを確認します。角柱は底面が2枚、角錐は底面と上の頂点があることを思い出し、公式と図の両方で確かめましょう。
京の算数学 解答#1571
おすすめの算数学ブログ
空間図形の他の基本テーマも、あわせて復習してみましょう。
- 何かと話題の「ねじれの位置」ってなに？：空間内の直線の位置関係をイメージで確認できます。
- 中学1年生で学ぶ数学の単元のまとめ：中1数学の単元と空間図形の学習内容を振り返れます。
