中3数学｜分母の有理化のやり方｜√が1つ・和と差の問題を解説【定期テスト対策】 京の算数学#1560

京の算数学問題#1560

算数学コラム

分母の有理化は、分子と分母に同じ式をかけて、分母から根号をなくす計算です。

分母が「√だけ」なのか、「√を含む和や差」なのかを見分けると、かける式が決まります。

教室で答案を見ていると、方法は分かっているのに「分母だけに根号をかけた」「共役な式の符号を間違えた」「最後の約分を忘れた」という惜しいミスが目立ちます。今回は、分母の形ごとに手順を整理して、テストでの書き方まで確認しましょう。

分母の有理化とは？

分母に√がある分数に、分子・分母の両方へ同じ数や式をかけて、分母を根号のない形に直すことを「分母の有理化」といいます。

たとえば、1/√2は分母にも分子にも√2をかけます。

1/√2 ＝ (1×√2)/(√2×√2) ＝ √2/2

分子と分母に同じ数をかけているので、分数の値は変わりません。分母は√2×√2＝2となり、根号がなくなります。

まずは分母の形を見分ける

有理化で最初にすることは、分母を見ることです。分母の形によって、分子・分母にかける式を使い分けます。

• 分母が√aなら、分子・分母に√aをかける。
• 分母が√a＋√bなら、分子・分母に√a−√bをかける。
• 分母が√a−√bなら、分子・分母に√a＋√bをかける。

このように、符号だけを反対にした式を「共役な式」といいます。和と差をかけると、公式 (x＋y)(x−y)＝x²−y² によって分母の根号を消せます。

例題1｜分母が√1つのとき

次の分数を有理化します。

3/(2√5)

分母の√5をなくすため、分子・分母に√5をかけます。

3/(2√5) ＝ (3×√5)/(2×√5×√5) ＝ 3√5/10

分母は2×5＝10です。分子に√5をかけ忘れないように、分数全体に√5/√5をかけると考えると安全です。

例題2｜分母が√の和・差のとき

次は、分母が2つの根号の和になっています。

2/(√3＋√2)

共役な式の√3−√2を、分子・分母の両方にかけます。

2/(√3＋√2)
＝ 2(√3−√2)/((√3＋√2)(√3−√2))
＝ 2(√3−√2)/(3−2)
＝ 2√3−2√2

分母は3−2＝1になりました。和と差の順番を逆にしてかけると、√の部分が消えるのがポイントです。

もう一つ、分母に整数と根号がある場合も、整数を2乗した差として計算します。

3/(√5−2) ＝ 3(√5＋2)/((√5−2)(√5＋2))
＝ 3(√5＋2)/(5−4) ＝ 3√5＋6

問題#1560を解いてみよう

問題の分母は√5−1です。共役な式は√5＋1なので、分子と分母の両方にかけます。

2/(√5−1) ＝ 2(√5＋1)/((√5−1)(√5＋1))
＝ 2(√5＋1)/(5−1)
＝ 2(√5＋1)/4
＝ (√5＋1)/2

答えが分数になっても問題ありません。分母の√がなくなり、約分できるところまで整理できていれば完成です。

定期テストで多い3つのミス

1. 分母だけに√をかける。分子にも同じ式をかけないと、分数の値が変わってしまいます。
2. 共役な式の符号を間違える。分母が√a＋√bなら、かけるのは√a−√bです。符号をそろえてしまわないように注意します。
3. 分母を計算し違える。(√a＋√b)(√a−√b)は、a＋bではなくa−bです。差の平方の公式を使いましょう。

特に、分母に3−√5があるとき、共役な式は3＋√5です。整数部分も含め、分母全体の符号だけを反対にします。

答案はこの順番で書く

1. 分母の形を確認する（√1つか、和・差か）。
2. 分子・分母に同じ式をかける。
3. 分母を計算し、根号をなくす。
4. 分子を展開して、約分や整理をする。

途中式では、何をかけたかが見えるように書きましょう。式を省略しすぎると、正しい考え方でも符号や約分のミスを見つけにくくなります。

一問一答PDFで練習

分母が√1つの基本問題から、共役な式を使う問題、誤りを直す問題まで、12問を用意しました。まずは問題ページを解き、解答ページで途中の考え方も確認してみてください。

※A4・全3ページ（表紙／問題／解答）。テスト前の確認にご利用ください。

よくある質問

なぜ分母を有理化するのですか？

分数を扱いやすい標準的な形に整理するためです。分子・分母に同じ数や式をかけるので、分数の値を変えずに分母の根号をなくせます。

分母が√3＋√2なら、何をかけますか？

共役な式の√3−√2をかけます。分母は(√3＋√2)(√3−√2)＝3−2＝1となり、根号が消えます。分子にも同じ式をかけてください。

分子にも同じ式をかけるのはなぜですか？

分母だけを変えると分数の値が変わるからです。分子と分母に同じ0でない式をかけると、全体としては1をかけたことになり、値を保てます。

まとめ｜かける式を見分けて、分母を確認

• 分母が√aなら、√aを分子・分母にかける。
• 分母が√a±√bなら、符号を反対にした共役な式をかける。
• 分母の計算には、(x＋y)(x−y)＝x²−y²を使う。
• 最後に分子を整理し、約分できるか確認する。

「何をかけたか」「分母はいくつになったか」を一行ずつ確かめれば、有理化の計算は落ち着いて進められます。

京の算数学 解答#1560

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