0乗はなぜ1になる? おもしろ指数 今日の数学#099

今日の数学問題#099

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今日の数学コラム

指数を学ぶと高校数学の理解が深まる

高校数学は中学数学を導入に概念を学んでいくので理解がとても難しくなる。

僕も実際現役の時は理解するのに気がつくと夜中になっていることもよくあった。

公式や定理の成り立ちは教科書に載っているけれどどうもこだわりが強かったみたいで、言葉のニュアンスや突然出てくるさも当然かのような前提の使い回しに???が並んだこともある。

今日は指数を通してその???の理解を深めていこうと思う。

a^0=1(aの0乗)の理由

まず指数とは、2^3=2×2×2=8のように2が3回かけてある事を表すように、数字や文字の右上に書いた回数分かけるという意味を表す。

ここで

2^2×2^3=(2×2)×(2×2×2)=2^5と表すことができる事からこんな定理が出来上がった。

0乗はなぜ1になる?の解説画像その1

ではいよいよa^0=1の解説をしていく。

0乗なぜ1になる?の解説画像その2

ここで大切なのは、この式が成り立つためにはa^0=1とした方が都合が良いと言うことだ。

今までの定理はなぜこうなるのか?をベースにしていたので証明をすることで理解できた。だけど、今回のように「都合がいいからこうします」というのは考え方であって証明ではない。こういうのが高校数学では頻繁に出てくる。

また、数学のすごいところは現実に起こっていない事象を推論できるということで、a^2などは表すことが出来るが、a^0などは現実に表すことは出来ないので概念として証明することが出来るようになる。ここが高校数学を難しくさせる原因だ。

なぜ?を考えるのではなく都合がいいからそうした!と進めていく強引さが必要なのである。

a^(2/3)=3√2 3乗根になる理由

a^0=1が理解できたら次はこのパターン

まず、指数が有理数の時も法則が成り立つと仮定する。

0乗はなぜ1になる?の解説画像その3

なので

aをy/x乗したものをx乗するとaのy乗になるということができる。

つまり、

3√2を3乗すると2になると言うことができる。

この場合も「指数法則が成り立つように定義をする」とこうなるという、都合がいいからこうしましょう!という法則だった。

高校数学は確かに難しい、でもこの考え方は大人になってからも役に立つ。

〇〇だと都合がいいからこれが成り立つとして行動を考える。

できる大人はみんなこれをやっているとも言える。

数学って面白い。

以上!京都市中京区のアイデア数理塾 油谷がお届けいたしました!

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