アイデア数理塾 京の算数学問題#1574
底面の半径3cm、母線5cm、高さ4cmの円錐の表面積を求めなさい。
円周率はπとします。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
円錐の表面積は「底面積＋側面積」で求めます。
底面の半径をr、母線の長さをlとすると、底面積はπr²、側面積はπrl。
したがって表面積はπr²＋πrlです。
側面積に使うのは、高さではなく母線です。
ここでは、中1で扱う、頂点が底面の中心の真上にある円錐を考えます。
前回は円柱の表面積を、底面2面と側面の長方形に分けて考えました。
円錐では底面が1面になり、側面を広げるとおうぎ形になります。
似た公式を丸暗記するより、展開図の違いを確認してから計算すると整理しやすくなります。
母線と高さの違い｜使う線を先に確認
母線は、頂点から底面の円周上まで側面に沿って引いた線分です。
一方、高さは、頂点から底面に垂直に下ろした線分の長さです。
図では、中心へ向かう縦の線と、円周へ向かう斜めの線を区別しましょう。
表面積は外側の広さを調べるので、側面のおうぎ形に対応する母線を使います。
体積を求めるときは高さを使い、πr²h÷3となります。
同じ図に5cmと4cmが書いてあっても、問題が表面積なら側面の計算に入れるのは母線の長さです。
展開図で見ると、側面はおうぎ形
円錐の側面を1本の母線に沿って切り開くと、おうぎ形になります。
おうぎ形の半径は母線l、弧の長さは底面の円周2πrです。
組み立てると弧が底面の円にぴったりつながるので、2つの長さは等しくなります。
たとえば底面の半径3cm、母線6cmなら、底面の円周は6πcmです。
半径6cmの円全体の円周は12πcmなので、側面はその半分のおうぎ形、中心角180°になります。
側面積がπ×半径×母線になる理由
おうぎ形の面積は「半径×弧の長さ÷2」で求められます。
これは、半径l・中心角θのおうぎ形で、面積πl²×θ/360と、弧の長さ2πl×θ/360を比べると確かめられます。
円錐の側面では、おうぎ形の半径がl、弧の長さが2πrです。
したがって、側面積はl×2πr÷2＝πrlとなります。
側面積だけを求めるなら、中心角を先に計算しなくても、この式が使えます。
例題｜半径3cm、母線6cmの表面積
底面は円1枚です。
円柱と同じように底面積を2倍しないことに注意しましょう。まず底面と側面を別々に求めます。
底面：π×3²＝9πcm²
側面：π×3×6＝18πcm²
表面積：9π＋18π＝27πcm²
直径が与えられた問題では、最初に2で割って半径に直します。
たとえば直径8cm、母線7cmなら半径4cm。表面積はπ×4²＋π×4×7＝16π＋28π＝44πcm²です。
中心角を聞かれたら、円周の割合を使う
側面のおうぎ形の中心角は、360°×底面の半径÷母線で求められます。
おうぎ形の弧2πrを、半径lの円全体の円周2πlで割ると、割合はr/lだからです。
半径3cm、母線6cmなら360°×3÷6＝180°。
比は「底面の半径÷母線」の順です。
母線を半径で割ると、円全体を超える角度になってしまいます。
表面積を求めるのか、中心角を求めるのか？手順を先に確認しましょう。
定期テストで防ぎたい3つの間違い
高さを母線として使う：側面積の式に数字を入れる前に、使う斜めの線を図で指しましょう。図の見た目が縦長かどうかではなく、線分の位置と問題文の指定で判断します。
底面を2枚足してしまう：円錐の底面は1枚です。円柱は2枚、円錐は1枚と、展開図の円の数で確かめます。
側面積だけで答える：表面積を聞かれたら、底面積も足します。「側面」「底面」「合計」の3行に分けると、足し忘れを見つけやすくなります。面積の単位はcm²です。
教室での復習でも、公式を言えるかだけでなく「おうぎ形の半径は図のどの線？」と問いかけるのが有効です。
保護者の方が一緒に見るときも、数字の計算を直す前に、母線と高さを指で確認してみてください。
一問一答PDF｜母線・側面積・中心角を確認
母線の意味から、底面積、側面積、表面積、中心角までを8問にまとめました。
半径と母線に印を付け、どの面積を求めているのか声に出してから解いてみましょう。
学校のワークも、間違えた式の横に小さな展開図を描いて解き直すのがおすすめです。
中1数学｜円錐の表面積と母線 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
円錐の表面積の公式は何ですか？
底面の半径r、母線lならπr²＋πrlです。底面の円1面と、側面のおうぎ形の面積を足しています。
円錐の表面積に高さは使いますか？
半径と母線が分かっていれば、高さを使わずに求められます。高さと半径だけから母線を求めるには三平方の定理などが必要です。中1の基本問題では、まず母線が与えられているか確認しましょう。
母線と、おうぎ形の半径は同じですか？
同じ長さです。ただし、底面の円の半径とは別です。図では、底面の半径rと母線lを区別して書き込みましょう。
側面積を求めるのに中心角は必要ですか？
半径と母線が分かっていれば、πrlで求められるので中心角を先に出す必要はありません。中心角そのものを問われた場合は、360°×r/lで計算します。
まとめ｜母線を見つけて、底面1枚と側面を足す
円錐の表面積はπr²＋πrlです。
展開図では、母線がおうぎ形の半径になり、弧の長さは底面の円周と等しくなります。
高さとの違い、底面が1面であること、最後に底面と側面を足すことを確認して、基礎問題を確実に解きましょう。
京の算数学 解答#1574
底面はπ×3²＝9πcm²、側面はπ×3×5＝15πcm²です。したがって表面積は24πcm²。側面積には母線5cmを使い、高さ4cmは使いません。
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