アイデア数理塾 京の算数学問題#1554
算数学コラム
一次関数のグラフから式を求めるときは、分かっている情報に合わせて解き方を選びます。
切片と1点が読めるなら傾きを求める、傾きと1点が分かるなら代入する、2点だけが分かるなら最初に傾きを求める。
この3パターンに分けると、定期テストでも迷いにくくなります。
一次関数の単元では、「グラフはかけるのに、式を求める問題になると手が止まる」ということが起こりやすいです。
原因は公式を知らないことよりも、問題ごとに与えられた情報を整理できていないことにあります。
この記事では、中学2年生の定期テストでよく使う考え方を、3つの型に分けて解説します。
まず覚えたい基本形は y＝ax＋b
一次関数の式は、基本的にy＝ax＋bの形で表します。
- a：傾き（変化の割合）
- b：切片（グラフがy軸と交わる点のy座標）
式を求める問題は、結局のところ「aとbをどう求めるか」という問題です。ここが見えると、グラフ、表、文章題が別々の単元ではなく、同じ一次関数の表し方だと分かります。
グラフを見たら、最初に確認する3つの情報
すぐに計算を始める前に、次の3点を確認しましょう。
- 切片は読み取れるか
- 傾きは読み取れるか
- 直線上の2点の座標は分かるか
解答用紙の余白に「切片あり」「傾きあり」「2点あり」と短くメモするだけでも、使う方法を選びやすくなります。
方法1 切片ともう1点が分かる場合
グラフがy軸と交わる位置がはっきり読める場合は、切片bを先に式へ入れます。
例えば、切片が3で、直線が点（2，7）を通るとします。まず、y＝ax＋3 と置きます。そこへ x＝2、y＝7 を代入します。
7＝2a＋3
2a＝4
a＝2
したがって、求める式はy＝2x＋3です。
ここでよくあるのが、点（2，7）の「2」をbに入れてしまうミスです。切片はy軸上、つまりx＝0のときのy座標です。切片と、直線上の一般の点を区別しましょう。
方法2 傾きと1点が分かる場合
傾きaが分かっているときは、y＝ax＋b に傾きと1点を代入して、bを求めます。
例えば、傾きが−3で、点（2，1）を通る場合です。
y＝−3x＋b に x＝2、y＝1 を代入すると、
1＝−3×2＋b
1＝−6＋b
b＝7
したがって、式はy＝−3x＋7です。
負の傾きでは符号ミスが増えます。「−3×2」を先に計算し、−6＋b と一行書いてから移項すると、途中で符号が入れ替わりにくくなります。
方法3 2点だけが分かる場合
2点の座標だけが与えられたら、最初に傾きaを求めます。
傾き＝yの増加量÷xの増加量
問題画像のA（−2，5）、B（4，−1）を使うと、
a＝（−1−5）÷（4−（−2））
＝−6÷6
＝−1
次に、y＝−x＋b へAかBのどちらか一方を代入します。A（−2，5）を使うと、
5＝−（−2）＋b
5＝2＋b
b＝3
したがって、求める式はy＝−x＋3です。
最後に、使わなかったB（4，−1）を代入して確認すると、−1＝−4＋3となり、式がBも通ることを確かめられます。この「もう一方の点で確認する」ひと手間は、定期テストの見直しでとても有効です。
傾きの計算で順番をそろえる
2点から傾きを求めるときは、分子と分母の引く順番をそろえます。
（Bのy座標−Aのy座標）÷（Bのx座標−Aのx座標）
のように、上も下も「B−A」にします。分子だけA−B、分母はB−Aとすると、傾きの符号が逆になります。
答案では、座標を縦に並べてから引き算を書く方法もおすすめです。頭の中だけで処理せず、マイナスのかっこまで残すと、計算ミスの原因を見つけやすくなります。
定期テストで起こりやすい4つのミス
- 傾きを「xの増加量÷yの増加量」にする
正しくは、yの増加量÷xの増加量です。 - 切片をx軸との交点だと思う
bは、グラフがy軸と交わる点のy座標です。 - 負の数を代入するときにかっこを省く
x＝−2なら、−（−2）のようにかっこを残します。 - aを求めて終わる
問題が「式を求めなさい」なら、bまで求めてy＝ax＋bの形で答えます。
テスト前10分の確認手順
一次関数を短時間で見直すなら、次の順番で1問ずつ解いてみましょう。
- グラフから切片を読む問題
- 2点から傾きを求める問題
- 傾きと1点から式を求める問題
- 2点から式を求める問題
- 求めた式へ座標を代入して確かめる問題
全部を何度も解くより、どの段階で止まったかを確認することが大切です。傾きで止まるなら増加量の計算を、bで止まるなら代入を重点的に解き直しましょう。
よくある質問
一次関数なら、いつでもy＝ax＋bを使えますか？
はい。中学2年生で学ぶ一次関数はy＝ax＋bの形で表せます。比例y＝axは、b＝0の特別な場合です。
切片がグラフの外にあって読めないときはどうしますか？
直線上の2点の座標を読み取り、まず傾きを求めます。その後、どちらか1点をy＝ax＋bへ代入してbを求めます。
傾きが分数になっても大丈夫ですか？
大丈夫です。yの増加量をxの増加量で割った結果が分数になることはあります。約分し、符号を分数全体の前につけて表しましょう。
答えが合っているか、自分で確認できますか？
求めた式に、問題で与えられた点のx座標を代入します。計算したyがその点のy座標と一致すれば、その点を通っています。2点が与えられているなら両方で確認すると安心です。
まとめ 3つの型を見分けてから計算しよう
一次関数のグラフから式を求める問題は、次の3つに整理できます。
- 切片と1点が分かる：bを入れてからaを求める
- 傾きと1点が分かる：aを入れてからbを求める
- 2点が分かる：傾きを求め、1点を代入してbを求める
式を丸暗記するだけでなく、「今、何が分かっていて、次に何を求めるか」を書き出すと、初めて見るグラフでも解きやすくなります。
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京の算数学 解答#1554
