アイデア数理塾 京の算数学問題#1581
2直線①y＝2x−1、②y＝−x＋8の交点Pの座標を求めなさい。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
一次関数の2直線の交点は、2つの式を連立方程式として解くと求められます。
どちらもy＝…の形なら、右辺どうしを等しくしてxを求め、元の式に代入してyを求めます。
最後に(x, y)の順で座標を書きましょう。
「グラフでは交わっている場所が見えるのに、式だけになると分からない」「xは出せたけれど、そこで終わってしまった」。こうしたつまずきは、交点の意味と答え方を分けて確認すると整理しやすくなります。
今回は、式を連立する理由から定期テストでの見直しまでを扱います。
交点とは？2つの直線に共通する点
ある点が直線①の上にあれば、その点のx座標とy座標は①の式に当てはまります。
交点は①の上にも②の上にもあるので、同じxとyの組が2つの式を同時に満たします。
その組を求める計算が連立方程式です。
たとえば①y＝2x−1、②y＝−x＋8では、x＝3のとき①のyは5、②のyも5です。
つまり点(3, 5)は両方の直線上にあります。
x座標だけでなく、y座標も求めることがポイントです。
図の交点からx軸・y軸へ補助線をたどると、x＝3、y＝5と読みとれます。
ただし、目盛りの途中で交わる問題もあるため、正確な座標を求めるときは式を使って計算しましょう。
求め方①｜右辺どうしを等しくしてxを求める
2つの式がy＝…の形なら、同じyを表す右辺どうしを等しくできます。
①y＝2x−1、②y＝−x＋8なら、2x−1＝−x＋8です。
2x−1＝−x＋8
2x＋x＝8＋1
3x＝9
x＝3
これは代入法で連立方程式を解いているのと同じです。
移項で符号が変わる箇所を確認し、xの項と数だけの項をそれぞれまとめます。
求め方②｜元の式に代入してyを求める
求めたx＝3を、①または②に代入します。
計算しやすい方でかまいません。
①ならy＝2×3−1＝5、②ならy＝−3＋8＝5です。したがってy＝5となります。
xだけ求まった段階では、まだx座標しか分かっていません。
「交点の座標」が問いなら、y座標まで求める必要があります。
途中でついつい終わってしまう場合は、計算を始める前に答えの欄へ「P( , )」と枠を書いておきましょう。
求め方③｜座標の形で答え、もう一方の式で検算
答えはP(3, 5)です。
座標は(x, y)の順に書きます。
(5, 3)では別の点なので、順番を入れ替えないようにしましょう。
①に代入してyを求めたら、検算では②も使います。
x＝3で②の右辺は−3＋8＝5となり、求めたyと一致します。
計算結果が両方の式に当てはまれば、交点の意味に戻って確かめられます。
別の例題｜y＝x＋2とy＝−2x＋8の交点
右辺どうしを等しくするとx＋2＝−2x＋8。
整理して3x＝6なのでx＝2です。
y＝x＋2に代入するとy＝4。
したがって交点の座標は(2, 4)です。
式が2x＋y＝8のような形でも、連立して解く考え方は同じです。
たとえばy＝x＋2と組み合わせるなら、2x＋(x＋2)＝8として解けます。
必ず両方をy＝…に直す必要はなく、計算しやすい代入法・加減法を選びましょう。
x軸・y軸との交点は「0になる座標」を確認
x軸との交点ではy＝0、y軸との交点ではx＝0です。
x軸上では縦の位置が0、y軸上では横の位置が0だからです。
「x軸だからx＝0」と文字だけで覚えると逆になることが多いです。
y＝−2x＋6とx軸との交点なら、y＝0を代入して0＝−2x＋6、x＝3。
答えは(3, 0)です。
y軸との交点ならx＝0を代入してy＝6、答えは(0, 6)です。
教室や家庭で確認するときは、横軸上に点を1つ描き、「この点は上下にどれだけ動いている？」と問いかけると、y＝0の意味を確かめられます。
言葉の暗記だけでなく、点の位置と結び付けましょう。
定期テストで防ぎたい3つのミス
xを求めただけで終わる：問いが座標なら、yを求めて括弧の中に2つの値を書きます。x＝3だけでは、Pの位置を指定できません。
グラフの見た目だけで決める：交点が目盛りの途中にあることもあります。たとえばy＝3x−2とy＝−x＋4なら、4x＝6よりx＝3/2、y＝5/2。分数の座標(3/2, 5/2)も正しい答えです。
x軸・y軸の条件を取り違える：軸上の点を小さく描いてから、0になる方を決めます。2直線の交点なのか、座標軸との交点なのか、問題文にも印を付けましょう。
復習では、間違いを「移項の符号」「代入」「座標の順番」「0の条件」に分けて記録すると、次に直す箇所が明確になります。同じ問題を写し直すだけでなく、片方の式に戻して検算するところまで取り組みましょう。
一問一答PDF｜交点の意味から座標軸まで8問
交点の意味、方程式の作り方、xとyの計算、分数の座標、座標軸との交点を8問にまとめました。
1ページ目が問題、2ページ目が解答です。
学校のワークの前後に使い、止まった手順を確認してください。
中2数学｜一次関数の交点 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
一次関数の交点はどう求めますか？
2つの直線の式を連立してxとyを求め、(x, y)の順に座標を書きます。
両方がy＝…なら、右辺どうしを等しくしてxを求められます。
なぜ交点で2つの式の右辺を等しくできるのですか？
交点では同じxに対するyが一致するからです。
どちらの右辺も同じyを表すので、右辺どうしが等しくなります。
交点の座標が分数になることはありますか？
あります。式を正しく連立して分数になった場合、その値を使ってyを求めます。
グラフの目盛りに合わせて整数に丸める必要はありません。
これもよくある間違いですが、答えが分数になったから間違っているかもと検算をして時間をロスしている生徒は要注意です。
2直線の交点は必ず1つありますか？
異なる傾きなら1つです。
傾きが同じで切片が違えば平行なので交点はなく、傾きも切片も同じなら2つの式は同じ直線を表します。
まとめ｜連立して、yまで求めて、座標で答える
交点は2つの式を同時に満たす点です。
右辺を等しくするなどしてxを求め、元の式でyを計算し、(x, y)の形で答えます。
もう一方の式で検算し、座標軸との交点では0になる座標も確認しましょう。
京の算数学 解答#1581
2x−1＝−x＋8より3x＝9、x＝3です。①に代入するとy＝2×3−1＝5。よって交点はP(3, 5)です。②でもy＝−3＋8＝5となり、両方の式に当てはまります。
おすすめの算数学ブログ
中2数学｜一次関数のグラフから式を求める3つの方法：グラフから2つの式を作るところから復習できます。
京の算数学問題#1438｜一次関数の基本を確認：一次関数の関連問題と一緒に取り組めます。
