アイデア数理塾 京の算数学問題#1575
一次関数y＝−2x＋5について、xの変域が−1≦x≦3のとき、yの変域を求めなさい。解答は記事の下部にあります。
算数学コラム
一次関数の変域は、xの両端の値を式に代入し、出てきたyを小さい順に並べて求めます。
傾きが負なら、xが増えるとyは減ります。
「左のxを代入した答えが、必ずyの最小値」とは限りません。
最後に、端の値を含むかどうかも確認します。
式への代入はできるのに、変域の問題になると手が止まる。
そんなときは、計算と不等号を書く作業をはっきりと分けてしまいましょう。
まず両端の値を求めてから、その後でyの最小・最大を選ぶと負の数が入っても整理できます。
本来はグラフが書けると良いのですがこのブログ自体は数学が特に苦手な生徒に向けて書いているのであくまで解き方にフォーカスを当てています。
変域とは？「有効な値の範囲」を表す言葉
変域とは、変数が有効な値の範囲です。
たとえば−1≦x≦3は「xは−1以上3以下」で有効であるという意味になります。
−1、0、3だけでなく、0.5など途中の値も含まれます。
−1と3の両端だけを代入するのは、途中の値を無視するという意味ではありません。
一次関数のグラフは直線なので、xが一方向に動く間、yは傾きによって増え続けるか減り続けます。
そのため、区間の両端を調べればyの範囲も決まります。
ここではy＝ax＋b（a≠0）の一次関数と、両端が決まったxの範囲を扱います。
求め方は3ステップ｜代入・大小・端の確認
① xの両端を代入する
表の上にx、下にyと書き、両端での値をそれぞれ計算します。負の数を代入するときは括弧を付けましょう。
② yを小さい順に並べる
たとえばyが7と−1なら、最小は−1、最大は7です。計算した順番ではなく、数の大小で並べます。
③ 端を含むか確認する
両端を含むなら「≦」、含まない端は「＜」を使います。含む・含まないは、対応するxの端の条件から判断します。
傾きが負の例題｜y＝−2x＋5の変域
xの変域を−1≦x≦3とします。
まずx＝−1を代入すると、y＝−2×(−1)＋5＝7。
次にx＝3を代入すると、y＝−2×3＋5＝−1です。
傾き−2は負なので、xが−1から3へ増えると、yは7から−1へ減ります。
したがって、yの変域は−1≦y≦7です。
「7≦y≦−1」とすると、7以上で同時に−1以下という、ありえない条件になってしまいます。
図では、左の端が上、右の端が下にあります。
xは横方向、yは縦方向に見ます。
教室で確認するときも「左から右へなぞってみよう」「いちばん下のyはいくつ？」と順に問いかけると、代入表とグラフの関係を確かめられます。
※座標がわからない生徒もおりますが、大抵グラフ用紙をマス目として捉えていることが原因です。
グラフ用紙はマス目ではなく、格子点であることを確認しておきましょう。
傾きが正なら？同じ手順で確認できる
y＝2x＋1、0≦x≦3なら、x＝0でy＝1、x＝3でy＝7。
傾きが正なので、xが増えるとyも増えます。
答えは1≦y≦7です。
正の傾きと負の傾きで、別々の解き方を暗記する必要はありません。
「両端を代入→yを小さい順→端を含むか」の順は同じです。
慣れてきたら、傾きの符号を見て、どちらのxでyが最大になるかを先に予想すると検算になります。
「＜」と「≦」が混ざるときは、値の対応を追う
y＝−2x＋5で、xの範囲が−1＜x≦3の場合を考えます。
−1は含まず、3は含みます。
x＝−1に対応するy＝7は含まず、x＝3に対応するy＝−1は含みます。
したがって−1≦y＜7です。
「xの左側が＜だったから、yの左側も＜」と写すと間違えます。
記号を左右で覚えるのではなく、「この値は含む？含まない？」と1組ずつ対応させましょう。
端を含まない場合、その値は実際にはとらないので、単純に最大値・最小値と言い切らず、範囲の境目として確認します。
定期テストの見直し｜3つのチェック
負の数の代入：−2×(−1)は2です。符号のミスは変域の考え方とは別なので、途中式を1行残して確認します。
大小関係：答えの左側が小さい数か確認します。負の数同士なら、たとえば−8＜−2です。迷ったら数直線に戻りましょう。
問いと記号：xの変域が与えられ、yの変域を聞かれているかを確認します。式の中の文字を取り違えず、最後に端の条件を照合します。
復習では、同じ式でxの範囲だけを変えて2問解くと効果的です。「計算が間違った」「小さい順になっていない」「端の条件を写し間違えた」のどこかに印を付け、次の問題で1つ直す練習にしましょう。
一問一答PDF｜変域の基本を8問で復習
用語の確認、正と負の傾き、端を含まない問題までを8問にしました。1ページ目が問題、2ページ目が解答です。学校のワークの前に取り組み、間違えた問題だけ翌日にもう一度解いてみてください。
中2数学｜一次関数の変域 一問一答8問（PDF）をダウンロード
※A4・全2ページ（問題／解答・確認ポイント）。
よくある質問
一次関数の変域はどう求めますか？
xの両端の値を式に代入し、求めたyを小さい順に並べます。最後に、各端を含むかどうかを不等号に反映します。
傾きが負のとき、なぜ順番が逆になりますか？
xが増えるとyが減るからです。左端のxがyの大きい側、右端のxがyの小さい側に対応します。答えの不等式はyを小さい順に書きます。
グラフを必ず描く必要がありますか？
計算だけでも求められます。ただし、最大・最小の対応が分からなくなったら、右上がり・右下がりの簡単な図を添えると確認できます。
「＜」と「≦」は何が違いますか？
＜はその端の値を含まず、≦は含みます。負の傾きでは対応するyの大小が入れ替わるため、各端の値とセットで判断しましょう。
まとめ｜代入した順ではなく、小さい順に書く
一次関数の変域は「両端を代入」「yを小さい順に並べる」「端の条件を確認」の3ステップです。
負の傾きではxとyの増減が逆になります。
表で対応している値を残し、必要ならグラフの上下で確かめて、テストでの取り違えを防ぎましょう。
京の算数学 解答#1575
x＝−1のときy＝7、x＝3のときy＝−1です。傾きが負なので、xが増えるとyは減ります。
両端を含むため、答えは−1≦y≦7です。
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